Бином Ньютона

Бином bis дважды nomen часть

Натуральную степень двучлена умели представлять в виде суммы степеней его слагаемых еще в 10 веке индийцы и арабские математики

А имя Ньютона бином получил гораздо позже

Бином Ньютона: (a+b) n = =a n +C n 1 a n-1 b+… …+C n n-1 ab n-1 +b n

БИНОМ НЬЮТОНА ИМЕЕТ СЕМЬ СВОЙСТВ

(a+b) n n+1 слагаемых (а+b) 2 3 (a+b) 3 4 (a+b) 7 8 (a+b) 5 6 (a+b) 9 10 (a+b)

(a+b) n а-а- убывает в-в- возрастает

Сумма показателей а и в в каждом слагаемом равна n (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 2+0=2 1+1=2 0+2=2

Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. (a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 4=4 1=1

Если n четное – одно центральное слагаемое Если n нечетное – два центральных слагаемых (а+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Формула общего члена бинома: T k+1 =C n k a n-k b k

Существует простой способ нахождения биномиальных коэффициентов: они отражены в арифметическом треугольнике, который ещё называют треугольником Паскаля

В этом треугольнике каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Это основано на следующем свойстве биномиальных коэффициентов: С n-1 r-1 +С n-1 r =C n r

Задача на использование бинома Ньютона: Записать сумму в виде степени числа 2, не складывая непосредственно числа: РЕШЕНИЕ Заметим, что 1=С 7 0 =С 7 7 ; 7=С 7 1 =С 7 6 ; 21=С 7 2 =С 7 5 ; 35=С 7 3 =С 7 4 ; Значит, данную сумму можем преобразовать так: = =1 7 +С …+С = =(1+1) 7 =2 7 ОТВЕТ : =2 7