Определённый интеграл Алгебра, 11 класс Структура презентации Сведения об авторе

Понятие о криволинейной трапеции Фигура, ограниченная неотрицательной на отрезке [a; b] функцией y=f(x) и прямыми y=0, x=a, x=b называется криволинейной трапецией ab x=bx=a y=f(x) y x x y ab y ab x

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла Решение различных задач привело к одной и той же математической модели: Для функции y=f(x) на отрезке [a;b]: 1. Разбить отрезок [a;b] на n равных частей 2. Составить сумму S n =f(x 0 )·x 0 +…+ f(x n )·x n 3. Вычислить предел этой суммы при n

Понятие определённого интеграла Предел такой суммы называют определённым интегралом по отрезку [a;b]: Напоминание о слагаемых вида f(x n )x n Стиллизованная буква S (сумма)

Геометрический и физический смысл определённого интеграла Вернёмся к трём рассмотренным задачам: Геометрический смысл интеграла: Физический смысл интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница где F(x) – первообразная для функции f(x) Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Или

Вычислить интеграл: Вычисление определённого интеграла Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла Формула Ньютона-Лейбница:

Примеры вычисления определённых интегралов 21.4 б 21.8 в а

Геометрический смысл определённого интеграла а Вычислить интеграл если график функции y=f(x) изображён на рисунке Ответ: 9,5 y x

Физический смысл определённого интеграла а Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = 3t 2 -4t+1, (время измеряется в секундах, скорость – в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения (t=0)? Ответ: 12 см

Физический смысл определённого интеграл а Дан прямолинейный неоднородный стержень [0;6], его плотность в точке х определяется по формуле р(х) = х 2 +х+1. Найдите массу стержня. Ответ: 96

Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла y x y x а

Вычисление площади криволинейной трапеции Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 0, y =, x = 1, x = e. y x = 1x = e 1e x y = 0 y = S = Ответ: S = 1

Вычисление площади криволинейной трапеции Ответ: S = π а Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x y = 0 y 1

Вычисление площадей плоских фигур Перенесём фигуру выше оси абсцисс на m единиц Площадь фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций Или: x=bx=a b a y=f(x) y=g(x) x y -m

Вычисление площадей плоских фигур Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x-2 и y=x 2 -4x+2 1. y=x 2 - 4x+2, x в =2, y в = -2 y=x-2 3. Абсциссы точек пересечения: x 2 - 4x+2=x-2 х 1 =1, х 2 =4 y -2 y=x 2 - 4x+2 4. S= 41 x Ответ: S=4,5 2. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0

Рефлексия Криволинейная трапеция Формула Ньютона-Лейбница Геометрический и физический смысл определённого интеграла Геометрический и физический смысл определённого интеграла Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками y = f(x) и y = g(x) Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками y = f(x) и y = g(x)

Формула Ньютона-Лейбница

Ньютон открыл новый метод раньше, но опубликовал его позже Лейбница, написав ему: «Надеюсь, что я при этом не написал ничего, что было бы тебе неприятно, если же это случилось, то прошу сообщить, потому что друзья мне дороже математических открытий» Лейбниц ответил в резкой форме. Распря двух гениев дорого обошлась науке: английская математическая школа увяла на целый век, а европейская проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона. Спор тянулся почти 40 лет, пока аббат Конти не сообщил Ньютону: «Лейбниц умер – диспут окончен»

Структура презентации Титульный слайд Сведе ния об авторе Источ ники Струк тура презентации Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла Понятие определённого интеграла Смысл определённого интеграла Задача 1 Задача 2 Задача 3 Формула Ньютона – - Лейбница Вычис ления интегр.ала Приме ры Допол нитель ная информация Вычисление площадей фигур S трапеции Приме р S фигур ы Приме р Рефле ксия Использованная литература

Использованные ресурсы А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. Учебник (профильный уровень) А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева и др. Алгебра и начала анализа. Задачник (профильный уровень) Картинка "книги"книги Материал Википедии Лейбниц Ньютон Лейбниц Ньютон Рисунок карандаш Значок Информация Информация Видео Величайший из учёных – Исаак Ньютон Величайший из учёных – Исаак Ньютон

Сведения об авторе Колесникова Татьяна Васильевна учитель математики МКОУ СОШ с УИОП 12 г. Кирово-Чепецка Кировской области