Урок-панорама «Правильные многогранники» 10 класс Учитель математики Билык Т.В. БОУ ТР ОО ТРСОШ

Эпиграф урока: «Математика есть прообраз красоты мира». И.Кеплер

Панорама – вид местности, открывающийся с высоты Цель урока: Ввести определения правильного многогранника. Рассмотреть свойства правильных многогранников. Ввести понятие равноугольно полуправильных и звездчатых многогранников. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников. Формирование пространственных представлений учащихся. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных, равноугольно полуправильных, звездчатых многогранников.

План урока Определение правильного многогранника. Исследование возможности существований правильных многогранников. Свойства правильных многогранников. Тела Платона. Тела Архимеда.. Звездчатые многогранники.

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми и какие невыпуклыми?

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Данная пространственная фигура называется трехмерной крест. Она состоит из 7 кубов. Почему такая фигура не может быть названа правильной? Сколько квадратов ограничивает ее поверхность? Сколько ребер, вершин и граней у этой фигуры?

Эта фигура не является выпуклой, в вершинах многогранника сходится разное число ребер. Фигура имеет 30 граней: у семи кубов 42 грани, у внутреннего куба 6 граней лежат внутри фигуры, и у каждого из остальных шести кубов наружными являются только пять граней. Р = 60, В = 32.

Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников. Позже в своем трактате «Тимей» другой древнегреческий ученый Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. Правильным многогранником посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида. Как называется этот труд? («Начала»). Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников, путей их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует. А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости – бесконечное число.

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка: адрон – грань окто – восемь тетра - четыре додека – двенадцать кекса - шесть окиси - двадцать

Для всех многогранников подсчитали число В + Г – Р, где В – количество вершин, Р - ребер, Г – граней. Получился один и тот же результат: В + Г – Р = 2. И формула эта верна не только для правильных многогранников. Доказал это соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.), поэтому формула названа его именем. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало с его работ,

Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Эти многогранники носят название «платоновских» тел – по имени древнегреческого философа Платона (428 – 348 г. до н.э.), в учении которого они играли важную роль. Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр – воздух, икосаэдр - воду, додекаэдр – Вселенную. Его по латыни стали называть «duinta esstntia» («пятая сущность»).

Тела Архимеда Многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.

Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники, 12 вершин. Многогранник выпуклый, в каждой вершине сходится три ребра. Он называется усеченным тетраэдром. Если указанным образом срезать вершины правильных октаэдра и икосаэдра, получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. Обратите внимание, что усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча. Из куба и додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр. Их плоскости проходят не через треть ребра.

Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов и восемь правильных треугольников, т.е. грани куба октаэдра, отсюда и название многогранника. Аналогично, если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосадодекаэдром. У него двенадцать граней – правильные пятиугольники, и двадцать – правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра. К этим двум последним многогранникам также можно применять операцию «усечения» вершин. Получим усеченный кубооктаэдр и усеченный икосадодекаэдр.

Ромбокубооктаэдр: он состоит из 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников; Ромбоикасодадекаэдр: у него всего 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников; «плосконосый» куб: у него всего 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника: «плосконосый» додекаэдр: всего 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

Звездчатые многогранники. Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр)

Эйлерова характеристика Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. В – число вершин Р – число ребер Г – число граней

Задача 1 Подсчитайте эйлерову характеристику данного многогранника.

Задача 1 Подсчитайте эйлерову характеристику данного многогранника. (Эйлерова характеристика этого многогранника равна нулю) В – 16; Г – 10; Р – 32, В – Р + Г = 16 – = 0

Задача 2 Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

Доказательство Пусть речь идет о диагоналях АС и ВД1 куба АВСДА1В1С1Д1. Требуется доказать, что многогранник, ограниченный четырьмя треугольниками с вершинами в точках А, С, В1, Д1, является правильным тетраэдром. Но это следует из равенства шести соединяющих рассматриваемые точки отрезков: АВ, АВ1, АД1, В1Д1, В1С и СД1 (эти отрезки – диагонали равных квадратов: грани куба).

Итог урока Итак, на уроке мы как бы с высоты сегодняшнего дня рассмотрели историю возникновения и развития теории о правильных многогранниках.