Квадратные уравнения с параметрами.

Квадратное уравнение Дискриминант :

Если D > 0, то кв. уравнение имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам: Если D = 0, то кв. уравнение имеет единственный корень Если D < 0, то действительных корней нет.

Частные случаи : 1. (приведенное квадратное 1. (приведенное квадратное уравнение), уравнение), при D > 0 при D > 0 при D = 0 при D = 0

2. при D > 0 при D = 0 при D < 0, то действительных корней нет.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения (формулы Виета) Если - корни квадратного уравнения Если - корни квадратного уравнения то то Для уравнения Для уравнения

Разложение квадратного трехчлена на множители Если D > 0, то Если D > 0, то Если D = 0, то Если D = 0, то

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение ax (ax + 3) + 6 = x (ax – 6) является При каких значениях параметра а уравнение ax (ax + 3) + 6 = x (ax – 6) является а) квадратным б) неполным квадратным в) линейным а) квадратным б) неполным квадратным в) линейным Преобразуем: а 2x2 + 3 а x + 6 = ax2 – 6x Преобразуем: а 2x2 + 3 а x + 6 = ax2 – 6x а 2x2 – ax2 + 3 а x + 6x + 6 = 0 а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0 а 2x2 – ax2 + 3 а x + 6x + 6 = 0 а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0 а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0 а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0 а (а – 1) =/= 0 а = 0, а =/= 1 а (а – 1) =/= 0 а = 0, а =/= 1 т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1 т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1 б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0. б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0. 3 (а + 2) = 0 а = – 2 3 (а + 2) = 0 а = – 2 в) линейное, если коэффициент при x2 равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2 в) линейное, если коэффициент при x2 равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2 Ответ: Ответ: при а =/= 0; 2 уравнение квадратное при а = – 2 неполное квадратное при а = 0,2 линейное. при а =/= 0; 2 уравнение квадратное при а = – 2 неполное квадратное при а = 0,2 линейное.

Пример 2 Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0 Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0 D = b2 – 16. D = b2 – 16. а) если |b|> 4, т.е. b 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня а) если |b|> 4, т.е. b 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2 б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2 в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет. в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет. Ответ: если b 4, то 2 корня если b = ± 4, то 1 корень x = b/2. Ответ: если b 4, то 2 корня если b = ± 4, то 1 корень x = b/2. если – 4 < b < 4, то корней нет. если – 4 < b < 4, то корней нет.

Задания для самостоятельного решения. 1) Решите относительно x уравнение: 1) Решите относительно x уравнение: а) mx2 – 6x + 1 = 0; б) ax2 = 4; в) x2 – а x = 0; а) mx2 – 6x + 1 = 0; б) ax2 = 4; в) x2 – а x = 0; г) x2 – 2x = с = 0; д) 6x2 – 5bx + b2 = 0; е) 12x2 + 7 сx + с 2 = 0. г) x2 – 2x = с = 0; д) 6x2 – 5bx + b2 = 0; е) 12x2 + 7 сx + с 2 = 0.

2) Решите относительно у уравнение: 2) Решите относительно у уравнение: а) су = 2 у с; б) b (у 2 + 7) = b (у + 5) + 2b; в) у 2 – 3 у = а а; г) ау у + а = 3 (2 у – а). а) су = 2 у с; б) b (у 2 + 7) = b (у + 5) + 2b; в) у 2 – 3 у = а а; г) ау у + а = 3 (2 у – а). 3) При каких значениях параметра а уравнение ax2 – 4x + а = 0 имеет: 3) При каких значениях параметра а уравнение ax2 – 4x + а = 0 имеет: а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю; г) единственный корень, отличный от нуля? а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю; г) единственный корень, отличный от нуля?