Содержание: Возникновение комплексных чисел Понятие комплексного числа Действия над комплексными числами Геометрическая интерпретация комплексных чисел Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Комплексные числа возникли из потребности решения алгебраических уравнений, необходимости в расширении понятия числа. Требования: 1. Определение новых чисел должно опираться на понятие действительного числа, и новое множество должно содержать все действительные числа. 2. Для новых чисел должны выполняться пять законов прямых арифметических действий. 3. В новом числовом множестве должно иметь решение уравнение x 2 =-1, т.к. в этом множестве должно выполняться действие, обратное возведению в степень. Bratishenko Olga G.:

История развития комплексных чисел Рафаэле Бомбелли итальянский математик, впервые изложивший правила действий над комплексными числами. Рене Декарт Считал, что для комплексных чисел не может существовать ни одного реального истолкования, а потому они всегда остаются мнимыми. Исаак Ньютон,Готфрид Вильгельм Лейбниц придерживались такого же мнения. Джон Валлис указал на возможность геометрического толкования мнимых чисел. Положили начало применению комплексных чисел в дифференциальном и интегральном исчислении. Л.Эйлер. В 1777 г. Ввел символ i Жан Лерон ДАламбер.( ). Ввел понятия «модуль» и «аргумент» комплексного числа. Карл Фридрих Гаусс закрепил геометрическое толкование комплексных чисел Г. Лейбниц Й. Бернулли

Понятие комплексного числа Мнимая единица i число, квадрат которого равен –1. Комплексные числа – числа вида a+bi, где a и b - произвольные действительные числа, i- мнимая единица. i-мнимая единица а-действительная часть комплексного числа B-коэффициент при мнимой части Bi-мнимая часть. Два комплексных числа a+bi и c+di равны, если a=c, b=d, т.е. когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Сопряженные числа – числа a+bi и a-bi, действительные части которых равны, а Коэффициенты при мнимых частях равны по модулю, но противоположны по знаку. Пример: 2+5i, 2-5i; 5+3i, 5-3i.

Действия над комплексными числами Сложение. Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (a+c)+(b+d)i,действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно сумме действительных частей и коэффициентов при мнимых частях слагаемых. Пример: (4-5i)+(2-i)= (4+2)+(-5-1)=6-6i; Противоположные числа- 2 числа a+bi и –a-bi, сумма которых равна 0. Вычитание. Разностью 2 х комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется такое комплексное число z3, которое в сумме с z2 дает z1.

Умножение комплексных чисел Произведением 2 х комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (ac-bd)+(ad+bc)I Произведение 2 х сопряженных комплексных чисел: (a+bi) (a-bi)= a 2 -(bi) 2 =a 2 - b 2 i 2 =a 2 +b 2 Произведением двух сопряженных комплексных чисел является действительное неотрицательное число, которое равно сумме квадратов действительной части какого-либо из данных чисел и коэффициентов при мнимой единице. Деление: Частным комплексных чисел z 1 =a+bi и z 2 =c+di называется такое число z 3, которое при умножении на z 2 дает z 1. a+bi ac+bd bc-ad c+di c 2 +d 2 c 2 +d 2 Возведение комплексных чисел в степень: Чтобы возвести число i в степень с натуральным показателем n, надо показатель степени разделить на 4 и возвести в степень, показатель которого равен остатку от деления. i

Геометрическая интерпретация комплексных чисел x y 0 Комплексная плоскость Ось Х- действительная ось(a+0i) Ось У- мнимая ось(0+bi) M(a;b) Интерпретация комплексного числа как вектора ОМ (рис.1). Начало-т.О(0;0); конец-т.М(a;b). ОМ- радиус-вектор. Геометрическим изображением комплексного числа z 1 =a+bi является радиус-вектор с координатами a и b.b. Рис.1 Противоположным комплексным числам соответствуют противоположные векторы Геометрическое изображение суммы и разности двух комплексных чисел Сложение: нахождение суммы двух векторов по правилу параллелограмма. Z 1 =a 1 +b 1 i; z 2 =a 2 +b 2 i; z 3 =z 1 +z 2. Пример: (2+4i)+(4+2i)=(2+4)+(4+2)i=6+6i; А 0 В

Вычитание: к вектору-уменьшаемому прибавляется вектор, противоположный вычитаемому. Пример: (4+6i)-(2i)=(4+6i)+(-2i)=4+(6+(-2))i=4+4i; 642 x y A D C B ОА - вектор-уменьшаемое, ОВ-вектор- вычитаемое, ОС-вектор, противоположный вектору ОВ, ОD-результирующий вектор.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Запись числа z в виде a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Модуль комплексного числа z=a+bi -значение r= a 2 +b 2 Аргумент комплексного числа a+bi –числовое значение угла, измеряемое в радианах. 0aC A b r Рассмотрим АОС. По теореме Пифагора имеем: a=rcos, b=rsin z=r(cos +isin ) Выражение r(cos +isin ) называется тригонометрической формой комплексного числа. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули их перемножаются, а аргументы складываются. z 1 z 2 =r 1 r 2 (cos( )+isin( )) При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. z1z1 z2z2 r1r1 r2r2 (cos( )+isin( ))

Спасибо за внимание! Работу выполнил Мирошничев Антон