Математические софизмы «Правильно понятая ошибка- это путь к открытию» И.П.Павлов

Введение Древние софизмы Числовые софизмы Геометрические софизмы Выводы Содержание

Софизм (от греческого sophisma- уловка, выдумка, головоломка)- логически неправильное рассуждение, выдаваемое за правильное. Математический софизм- удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Эффектная демонстрация явно неверного доказательства- в этом и состоит смысл софизма. Что такое софизм?

Где появились софизмы? В Древней Греции. Для чего они создавались? С какой целью? Появление софизмов заставило задуматься математиков о логическом строении геометрии и арифметики. Кто придумал математические софизмы? мудрец Зенон Элейский в V веке до нашей эры. Древние софизмы

Древний софизм «Рогатый» Равен ли полный стакан пустому Последние годы нашей жизни короче, чем первые. Древние софизмы

То, что ты не потерял, то и имеешь. Ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь. Где ошибка? Древний софизм «Рогатый» ответ

Оказывается, что да. Пусть есть стакан, наполненный водой до половины. Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану, наполовину пустому. Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Где ошибка? Равен ли полный стакан пустому?= ответ

Известно изречение: в молодости идет время медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Человек в течение тридцатого года жизни проживает 1/30 часть своей жизни, в течение семидесятого -1/70 часть жизни. Очевидно, что 1/30>1/70. Откуда ясно, что последние годы жизни короче первых. Не подвела ли математика? Последние годы нашей жизни короче, чем первые ответ

2=3 5=6 2·2=5 1=0, или уравнение x-a=0 не имеет решения Числовые софизмы

Рассмотрим очевидное равенство: (2-5/2) 2= (3-5/2) 2 Тогда (2-5/2)=(3-5/2) Прибавив к обеим частям равенства по 5/2, получим 2=3 Где ошибка? 2=3 ответы

Возьмем тождество: = Вынесем за скобки общий множитель: 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) Разделим обе части на (7+2-9) Получим 5=6 5=6 ответ

Напишем тождество: 4:4=5:5 Вынесем в каждой части общие множители за скобки: 4·(1:1)=5·(1:1) Так как 1:1=1, то 4=5, или 2·2=5 2·2=5 ответ

Дано уравнение x-a=0 Имеем: (X-A) 0 (X-A) (X-A) 1=0 Так как это равенство неверное, то исходное уравнение не имеет корней. = 1=0, или уравнение х-а=0 не имеет корней ответ

Пусть Δ АВС- произвольный. Проведем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к отрезку АС. Точку их пересечения обозначим М. Т.к. MD- высота и медиана в Δ АМС, то он равнобедренный и АМ=МС Геометрические софизмы м А В С D

Опустим из точки М перпендикуляры МЕ и MF на стороны АВ и ВС соответственно. Из равенства треугольников ВЕМ и ВFМ следует, что МЕ=MF, ВЕ=BF. м А В С D E F

Геометрические софизмы Следовательно, прямоугольные треугольники АМЕ и CMF равны: у них равны гипотенузы (АМ и МС) и катеты (ME и MF) значит AE=CF. Итак, АЕ=СF, BE=BF Следует, что AB=BC. Возник парадокс: все треугольники равнобедренные м А В D E F C

Ошибка в чертеже. Правильный чертеж: M АС D E F Геометрические софизмы В

1. познакомились с понятием математические софизмы; 2. научились искать замаскированные ошибки; 3. осознали : важность правильных, корректных записей и чертежей недопустимость выполнения запрещенных действий важность учета применимости теорем, формул и правил. Выводы:

Ответы «Рогатый» Ошибка здесь состоит в неправильном переходе от общего правила к частному случаю, который этим правилом не предусмотрен. Действительно, то, что ты не потерял, подразумевает под словом «то» - все, что ты имеешь, и ясно, что в него не включены «рога». Поэтому заключение «ты имеешь рога» неправомерно. назад

« Равен ли полный стакан пустому» Приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправильное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. назад

Ответ. «Последние годы нашей жизни короче, чем первые» Действительно, 1/30>1/40>1/50. Но неверно утверждение, что в течение тридцатого года человек проживает 1/30 часть жизни, он проживает 1/30 только той части жизни, которую он к этому моменту прожил, но именно части, а не всей жизни. Нельзя сравнивать между собой части различных отрезков времени. назад

2=3 Если (2-5/2) 2 =(3-5/2) 2, то правильным следствием должно быть Ι 2-5/2 Ι = Ι 3-5/2 Ι, откуда следует Ι - ½ Ι = Ι ½ Ι, а вовсе не равенство 2-5/2=3-5/2 назад

5=6 Ошибка допущена при делении верного равенства 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) на число (7+2-9), равное нулю. Этого делать нельзя. Любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля! назад

2·2=5 4:4=5:5 4/4=5/5 Вынесем общие множители: 4·1/4=5·1/5 В результате у нас не образуется общий множитель, а в предложенном доказательстве он был получен вследствие некорректных действий: 4:4=4·(1:1) назад

Уравнение х-а=0 не имеет корней, или 1=0 Так как х-а – корень уравнения, то разделив на (х-а) обе части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0. назад