Повторим планиметрию

1. Аксиомы планиметрии. Аксиомы принадлежности А а А а, В а В Э Э b CD Через две точки можно провести прямую и притом только одну.

1. Аксиомы планиметрии. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и на плоскости. а АВС Точка В лежит между точками А и С а β α Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости β и α.

1. Аксиомы планиметрии. Аксиомы измерения. АВ = а > 0 АС =АВ + ВС <АВС = n° <СОВ = 180° <АОВ= <АОС+ <СОВ АВ а А ВС n ° А В С С О В 180 ° О А С В

1. Аксиомы планиметрии. Аксиома параллельных а В Через точку В можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Углы. прямой А В С <АВС=90° острый αα<90° тупой β β > 90° развернутый О <О=180°

Углы. Смежные Вертикальные 1 2 Сумма смежных углов равна 180° <1+ <2=180° <1 и <2-вертикальные <3 и <4-вертикальные Вертикальные углы равны. <1 = <2, <3 = <4

Углы. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей Внутренние односторонние углы: <2 и <6, <3 и <7. Внутренние накрест лежащие: <2 и <7, <3 и <6. Соответственные: <4 и <6, <2 и <8, <1 и <7, <3 и <5.

Параллельные прямые. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. а b Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Признаки параллельности прямых. Если <3= <6, или <1= <6, или <4+ <6=180°,то а ׀׀ b Если а с,b c, то а ׀׀ b Если а ׀׀ с и b ׀׀ с, то а ׀׀ b a b c a b a b c

Перпендикулярные прямые Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. а b O A ab <AOB=90° Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Свойства углов треугольника Сумма углов треугольника равна 180° А В С <А+ <В+ <С=180 ° К Е Р М Угол РЕМ- внешний угол треугольника <РЕМ= <Р+ <К

Равнобедренный треугольник Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны. \\ // А В С Свойства: 1. Если в ΔАВС АВ=ВС, то < А= <С. 2. Если в ΔАВС АВ=ВС, ВМ -медиана, то ВМ- высота и биссектриса. ׀׀ М В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Равенство треугольников Два треугольника называют равными, если при наложении они совпадают. А В С Е М К Свойства: У равных треугольников все соответствующие элементы равны; У равных треугольников против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников. По двум сторонам и углу между ними. \ \ \\ По стороне и двум прилежащим к ней углам. \\ По трем сторонам. \\ \\ \\\

Признаки равенства прямоугольных треугольников. По двум катетам ׀ ׀׀ ׀ ׀ \ \ По катету и острому углу ׀ По гипотенузе и острому углу ׀ По гипотенузе и катету. ׀ \ \

Медиана треугольника. Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. // А В С К C А В К О М Р = = \ \ Свойства: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1,считая от вершины. СО ВО АО 2 ОМ ОК ОР 1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. ===

Свойства: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. АК КС АВ ВС Биссектрисы треугольника пересе- каются в одной точке, равноудаленной от сторон треугольника,- центре вписанной окружности. = Биссектриса треугольника Биссектриса треугольника- отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. А В С К

Высота треугольника Высота треугольника –перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. А В С hbhb С А В haha А В С haha Свойства: Прямые, содержащие высоты треугольника, пересе- каются в одной точке. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам. ha: hb: hc=1/a:1/b:1/c

Cредняя линия треугольника. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. / / \\ А В С М Т МТ- средняя линия Свойство: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. МТ ׀ ׀ АС, МТ=1/2АС.

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника. а b c α 90°-α а, b- катеты; с- гипотенуза Теорема Пифагора а²+b²=c² Свойства прямоугольного треугольника : Сумма острых углов равна 90°; Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы; sin α= b/c ; tg α=b/a; cos α= a/c ; ctg α=a/b;

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника. аb c hchc acac bcbc hc= ac · b c b=c · b c a=c · a c

Соотношения между сторонами и углами в произвольном треугольнике. А В С а b c α β γ Теорема синусов A b c sin α sin β sin γ ===2R Теорема косинусов а²=b²+c²-2bc·cos α В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. а>b α>β

Подобие треугольников. А В СА1А1 В1В1 С1С1 Δ АВС ~ Δ А1В1С1 Два треугольника называют подобными, если они Переводятся друг в друга с помощью преобразования подобия. Свойства: <А= <А 1 ; <В= <В 1; <С= <С 1. АВ ВС АС А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 ===k P P1 =k=k S S1 = k² !

Признаки подобия треугольников. По двум равным углам По двум пропорциональным сторонам и углу между ними По трем пропорциональным сторонам

Параллелограмм и его виды Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, называют параллелограммом. А В С D ABCD- параллелограмм AB׀׀CD ;BC ׀׀AD

Свойства параллелограмма У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны. <A= <C; <B= <D; AB=CD;BC=AD; А ВС D Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. AO=OC; BO=OD; // \\\ O / / б и и Биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник. AD=DR R

Свойства параллелограмма Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

Прямоугольник. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называют прямоугольником. А ВС D \ \/ / Свойства: Все свойства параллелограмма. Диагонали прямоугольника равны. АС=ВD

Ромб. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. / D А В С / / Свойства: Все свойства параллелограмма. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. САВD; /

Квадрат. Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Свойства: ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ) ) ) ) ) ) ) )

Трапеция. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называют трапецией. Равнобедренная Прямоугольная \ / Углы при основании равны. Диагонали равны. h

Трапеция. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называют средней линией. / / \\ А ВС D H P НР- средняя линия Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. НР ׀ ׀ ВС, НР ׀ ׀AD; НР=1/2(ВС+АD). Типичные дополнительные построения для трапеции \\ // //

Окружность, хорды и дуги Окружность- фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. А О В С D R O- центр окружности, ОА- радиус, АВ- диаметр, CD-хорда

Взаимное расположение прямой и окружности. О О О r d d>r общих точек нет r d А В d=r одна общая точка (АВ- касательная) d r d<r две общие точки

Окружность, касательная и секущие Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны Свойства: О АВ ОААВ / / А В С АВ=ВС

Окружность, касательная и секущие SA·SB=SC·SDAS·SB=CS·SD A B S D C C A B C D S

Вписанные углы Угол называется центральным, если его вершина является центром окружности. А В О АВ = <АОВ С Угол называется вписанным в окружность,если его вершина принадлежит окружности,а стороны пересекают эту окружность. <АОВ- центральный, <АСВ- вписанный Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. <АСВ=1/2 <АОВ

Свойства вписанных углов Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны между собой. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° А В С М Е <С= <М= <Е А В К НР <К= <Н= <Р =90°

C=2ПR -длина окружности; 2ПR · n ° - длина дуги 360° =L S=ПR² -площадь круга; ПR² ·n° -площадь 360° сектора Sсек.= Окружность и круг Длина окружности и длина дуги окружности Площадь круга и площадь сектора О О n°n° n° L S

Вписанные и описанные многоугольники. Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Многоугольник называется описанным, если все стороны касаются окружности. R O O r Sопис.=р·r ; где р- полупериметр, r- радиус впис. окружности

Вписанный и описанный четырехугольники Если сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Если у выпуклого четырехугольника суммы длин противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. В А С D <A+ <C= <B+ <D=180 ° A B C D AB+CD=BC+AD

Окружность, описанная около треугольника О А В С а b c / / \\ \\\ Центром окружности, описанной около треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров ОА=ОВ=ОС=R R= abc 4S

Окружность, вписанная в треугольник А В С О D Центром окружности, вписанной в треугольник является точка пересечения биссектрис треугольника r r = 2S Δ a+b+c

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны. Правильные многоугольники АВ О R r ( α nn=3n=4n=6 R a n 2sin180° n a3a3 a2a2 a r a n 2tg180° n a23a23 a2a2 a32a32

Площади треугольников А В С а b c α hbhb S=1/2·b·hb S=1/2·c·b·sinα S=p·(p-a) ·(h-b) ·(p-c), где р=(а+b+c):2 S= abc 4R, где R- радиус описанной окружности S=pr, где р- полупериметр, r-радиус вписанной окружности \\ S= a²3 4 a b S=1/2 ·a·b

Площади четырехугольников а b S=a ·b S=a² а а h a b α S=a ·b S=a ·b ·sinα прямоугольник квадрат параллелограмм а b h S=1/2 ·(a+b) ·h d1d1 d2d2 S=1/2 ·d1 ·d2 ромб трапеция d2d2 d1d1 ) α S=1/2·d1·d2·sinα произвольный четырехугольник