Моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности. Под моделью (от лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием.

Три этапа математического моделирования: 1. Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи). 2. Решение задачи в рамках математической теории. 3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

В структуре любой задачи выделяют: Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче. Отношения, которые связывают объекты предметной области. Требования задачи.

Схематизированные модели Знаковые модели Графические Графические модели модели Рисунок Схематический рисунок Чертеж Схематический чертеж Математический язык (символы) Выражения Уравнения Системы уравнений Действия Словесная форма Краткая запись Таблица Структура задачи делится на Вещественные модели модели

Этапы решения задачи: 1. Преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения. 2. Моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме. 3. Преобразование модели отношения для изучения его свойств. 4. Построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Задача 1 Задача 1. В группе студентов 3/5 владеют английским языком, а 7/10 – немецким. Сколько процентов студентов владеют обоими языками, если каждый студент владеет хотя бы одним из этих языков? Примем всю группу за 1. Английский язык Немецкий язык Оба языка % Ответ: 30.

Задача 2 Задача 2. В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля и 5 рублей. Известно, что без монет копилка весит 100 г, а с монетами – 270 г. Монет достоинством 5 рублей в копилке 10 шт. Определить, сколько денег (в руб.) находится в копилке, монеты достоинством 2 рубля и 5 рублей соответственно весят 3 г и 6,5 г. Вес одной монеты (г) Количество монет (шт) Вес всех монет (г) Сколько денег (руб) 5 руб. 2 руб. 6, = : 3=3535*2=70 Вес всех денег в копилке: =170 (г) Всего денег в копилке: 50+70=120 (руб.) Ответ: 120.

Задача 3 Задача 3. Два садовника вместе стригут кусты за 5 часов. Если бы первый садовник подстригал кусты один 3 часа, то второму понадобилось бы 7,5 часов, чтобы доделать работу до конца. За сколько часов второй садовник может один подстричь все кусты? Производи тельность Время Часть выполнен- ной работы 1-й 3 2-й 7,5 Вместе 5 Примем всю работу за 1. Значит, второй садовник может подстричь все кусты за 11,25 часа. Ответ: 11,25. х у х+у 3 у (х+у)5 7,5 х

Задача 4 Задача 4. Сплав меди и цинка массой 12,5 кг содержит 40% меди. Сколько кг меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал меди и цинка поровну ? Чтобы меди и цинка было поровну, надо добавить меди 60%-40%=20%, т.е. 12,5*0,2=2,5 (кг). Ответ: 2,5.

Задача 5 Задача 5. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько кг чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди? Было %Стало % Олово 5560 Медь 4540 Пусть х кг – масса олова, которое необходимо добавить к имеющемуся сплаву. 8 х = 12. х = 1,5. Значит необходимо добавить 1,5 кг олова. Ответ: 1, х 12

Задача 5 Задача 5. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько кг чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди? Значит надо добавить чистого олова 13,5-12=1,5 (кг). Ответ: 1,5. 1 сплав 2 сплав %кг% Медь 4540 Масса сплава 12*0,45=5,4 5,4*100/40=13,5 (кг)12 кг 5,4

Метод варьирования текстовых задач Метод варьирования текстовых задач – это способ организации усвоения учащимися приёмов решения задач, обеспечивающий преобразующую деятельность учащихся на базе развития задачного материала. 1. Меняются сюжет задачи и (или) числовые значения величин задачи. 2. Меняются математические зависимости между величинами, заданными в условии. 3. Добавляются данные в условие задачи при том же требовании задачи. 4. Меняется (добавляется) требование задачи при том же условии. 5. Составляются обратные задачи. 6. Составляются обращенные задачи. 7. Составляются задачи с недостающими (избыточными) данными. 8. Конструируются исследовательские задачи. Приемы варьирования текстовых задач.

Уровни осознанности знаний при решении текстовых задач. Первый уровень характеризуется в педагогике умением воспроизвести знания по образцу. Второй уровень характеризуется в педагогике умением проводить операцию сравнения, противопоставления, обобщения; умением интерпретировать и доказывать. Третий уровень характеризуется в педагогике наличием первых двух уровней, а задачи данного уровня осознанности должны содержать преобразование и включение новых знаний в уже имеющиеся структуры.

Задача 1. Теплоход отошел от пристани одновременно с плотом и прошел вниз по реке 42 км. Добравшись до пункта назначения, теплоход двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 16 км, он встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?

Задача 2 Задача 2. Составить текст задачи по схеме задачи и решить ее. 42 км 4 км/ч теплоход плот 12 км 1 ч

Задача 2 Задача 2. Теплоход отошел от пристани одновременно с плотом и прошел вниз по реке 42 км. Сделав остановку на 1 час, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 12 км, он встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?

Задача 3 Задача 3. Как изменится условие задачи 3,если по ее условию составлено такое уравнение: Составить текст задачи, схему задачи и решить ее, сравнивая с уравнением задачи 2.

Задача 3 Задача 3. Теплоход отошел от пристани одновременно с плотом и прошел вниз по реке 42 км. Добравшись до пункта назначения, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 10 км, он встретился с плотом. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч?