Построение сечений тетраэдра МБОУ гимназия 3 г. Мурманска Шахова Татьяна Александровна

Тетраэдр – многогранник, поверхность которого составлена из четырех треугольников. А В С D Вершины Ребра Грани

Назовем секущей плоскостью тетраэдра плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. А В С D Эта плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 4 грани, то сечениями тетраэдра могут быть либо треугольники либо четырехугольники.

Теоретические сведения, которые часто используются при построении сечений. Аксиомы стереометрии А1А1 А2А2 А3А3 Через три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Назад

Теоретические сведения, которые часто используются при построении сечений. Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые, по которым они пересечены этой плоскостью параллельны. Утверждение. Если плоскость проходит через прямую параллельную другой плоскости И пересекает ее, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Назад

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через ребро DC и точку K, лежащую на ребре АВ. А В С D K Точки С и К лежат в плоскости одной грани АВС и принадлежат α => АВС α=CК (СК- сторона сечения). Точки D и К лежат в плоскости одной грани АВD и принадлежат α => АВD α=DК (DК- сторона сечения). Треугольник DCK – искомое сечение

О Е Задача 2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точку K, лежащую на ребре АВ параллельно грани BCD. А В С D K α II BCD ADB α =КЕ ADB BCD =BD => KE || BD КЕ - сторона сечения α II BCD AВС α =КО AВС BCD =BС => KО || BС КО - сторона сечения Точки Е и О лежат в плоскости одной грани АDС и принадлежат α => АDС α=ЕО (EO- сторона сечения). Треугольник KEO – искомое сечение Свойство

Е Задача 3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через середины ребер AD и BD параллельно ребру DC. А В С D K Точки N и К лежат в плоскости одной грани АDB и принадлежат α => АDB α=KN (KN- сторона сечения). N Утверждение BCD проходит через DC || α BDC α =NЕ => NE || DC NE - сторона сечения ACD проходит через DC || α ADC α =KO => KO || DC KO - сторона сечения O Точки Е и О лежат в плоскости одной грани АВС и принадлежат α => АВС α = ЕО (EO- сторона сечения). Четырехугольник KNEO – – искомое сечение

M Задача 1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точки K, L, M. А В С D K Точки K и M лежат в плоскости одной грани АDС и принадлежат α => АDС α=MК (MК- сторона сечения). Точки L и M лежат в плоскости одной грани АВC и принадлежат α => АВC α=LM (LM- сторона сечения). Прямые КМ и АС не параллельны и лежат в одной плоскости ADC => KM AC=E L E Точки Е и L α и АВС (объясни, почему) => =α АВС=LE R LR – сторона сечения Точки R и К лежат в плоскости одной грани АDB и принадлежат α => АDB α=RK (RK- сторона сечения). Четырехугольник RKML – искомое сечение Аксиомы