1 Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. к.ф.-м.н. Евич Людмила Николаевна

2 Задача 1. Решите систему уравнений.

3 Задача 1. Исходная система равносильна совокупности систем уравнений При при Подставим эти значения в систему

4

5 Ответ:

6 Задача 2. Исходная система равносильна совокупности систем уравнений

7 Учитывая, что получаем Ответ:

8 Задача 3. Найти все значения x, при каждом из которых выполняются оба неравенства и и все найденные значения x удовлетворяют неравенству.

9 Решим систему неравенств

10 ОДЗ:

11 Так как первое неравенство системы строгое, то первое Приходим к системе неравенств:

12 Исследуем неравенства системы на ОДЗ:неравенства 1-е неравенство: 1) 2) 3)

13 Исследуем неравенства системы на ОДЗ: 2-е неравенство: 1) 2)

14 Получили:

15 Решаем систему неравенств:

16 Учитывая, что по условию, все найденные значения x должны удовлетворять неравенству: получаем:

17 Задача 4. Найти все значения x, при каждом из которых выполняются оба неравенства и и все найденные значения x удовлетворяют неравенству.

18 Рассмотрим систему неравенств

19 ОДЗ:

20 Учитывая, что по условию, все найденные значения x должны удовлетворять неравенству: получаем:

21 Исследуем неравенства системы для неравенства 1-е неравенство: 1) 2) 3)

22 Исследуем неравенства системы для неравенства 2-е неравенство: 1) 2)

23 Получили:

24 Решаем систему неравенств:

25 Задача 5. Найти наибольшее значение выражения при условии, что и. и

26 Обозначим. Тогда, задача сводится к нахождению наибольшего значения z, при котором существует решение системы:

27 Из первого уравнения системы:. Подставляем это значение y во второе и третье уравнения:

28 Решаем систему. и Построим графики функций

29 Рассмотрим графики функций Графики пересекаются в точках с абсциссами: и

30 Рассмотрим графики функций Абсцисса вершины параболы лежит правее промежутка Следовательно, наибольшее значение достигается в точке

31 Задача 6. Найти наибольшее значение выражения при условии, что. и

32 Обозначим. Тогда, задача сводится к нахождению наибольшего значения z, при котором существует решение системы:

33 Из первого уравнения системы:. Подставляем это значение y во второе и третье уравнения:

34 Решаем систему. и Построим графики функций

35 Рассмотрим графики функций Графики пересекаются в точках с абсциссами: и

36 Рассмотрим графики функций Абсцисса вершины параболы лежит левее промежутка Следовательно, наибольшее значение достигается в точке