Площадь трапеции? Это интересно!

Основными целями моей работы были: Сформулировать основные свойства площадей многоугольников, понятия равносоставленности и равновеликости многоугольников, метода разложения (или разбиения), как способа вычисления площадей. Познакомиться с историческими сведениями о возникновении потребности человека в делении площадей и преобразованиях равновеликих многоугольников. Используя метод площадей, вывести разными способами основную формулу площади трапеции, продемонстрировав ее применение к доказательству теоремы Пифагора. Доказать справедливость других формул площади трапеции.

Основная формула площади трапеции была выведена девятью способами. При ее выводе были продемонстрированы различные подходы. В том числе: трансформирование трапеции в равносоставленный параллелограмм…. A BCN M D К h c a-x S ABCD =S ABNK

…в равносоставленный треугольник… A BC D M K a c h с S ABCD =S ABK

… в равновеликий треугольник. A BC D K a c C h S ABCD =S ACK

A BC D M X H m n T S ABCD =mn Эти способы я использовала при выводе другой интересной формулы площади трапеции.

A BC D M K H m n S ABCD =mn Эту же формулу можно вывести и по другому

С помощью формулы Герона была получена такая формула площади трапеции: D BC K A a d 1 O c d 2 c S

Причем, если треугольник АСК – прямоугольный (АС перпендикулярен СК,то есть диагонали перпендикулярны), то площадь трапеции можно найти, не пользуясь формулой Герона. D BC K A a d 1 O c d 2 c S ABCD

Исследования показали, что если квадрат суммы оснований трапеции равен сумме квадратов ее диагоналей, то диагонали трапеции взаимно перпендикулярны! А, если в трапеции со средней линией m 1 и диагоналями d 1 и d 2 выполняется равенство, то ее площадь можно вычислить по формуле S = 0,5d 1d 2.

Также доказана и справедливость утверждения: Если 4m 2 2 =d 1 2 +d 2 2, то S= (где m 2 – вторая средняя линия, а d 1 и d 2 – диагонали трапеции). То есть, если выполняется хотя бы одно из вышеупомянутых равенств, то диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

C A B D M N a c h a c Он был использован при получении другой формулы площади трапеции: Еще один способ вывода основной формулы площади трапеции, связан с симметрией параллелограмма S=S=

M P BCN Q D A X Y

Из которой вытекает следующее: S=S=

Также было доказано, что: MCB A D α N S=m 2 dsinα

S=m 1 dsinβ A β C D B NM β

A M ND CB h2h2 h1h1 S=d(h 1 + h 2 ).

И опять, если d 1 d 2, то S=0,5d 1d 2 (ведь sin90º=1). DA BC O φ S ABCD = В работе было доказано, что:

а а c cb b = С помощью основной формулы площади трапеции была доказана теорема Пифагора.

Выводы В данной исследовательской работе разными способами были получены восемь формул площади трапеции и следствия из них, показаны их взаимосвязи. На мой взгляд, цель работы достигнута. В дальнейшем я хочу изучить различные особенности площадей произвольных четырехугольников и их частей.