Январь, 2015 ЕГЭ-2015 ЕГЭ-2015: базовый уровень С. Шестаков, И. Ященко г. Москва

Январь, 2015 Задание 1 Характеристика задания Несложное задание на вычисление значений арифметических выражений. ПРИМЕР Найдите значение выражения

Январь, 2015 Задание 1 Решение. Поскольку искомое значение равно сумме 5 + 0,8 + 0,75 = 6,55. Ответ: 6,55.

Январь, 2015 Задание 2 Несложное задание на вычисление значений арифметических выражений, в том числе на действия со степенями. Характеристика задания ПРИМЕР Найдите значение выражения

Январь, 2015 Задание 2 Решение. Ответ: 40.

Январь, 2015 Задание 3 Несложная текстовая задача, моделирующая реальную или близкую к реальной ситуацию. Характеристика задания ПРИМЕР Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получит работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет рублей?

Январь, 2015 Задание 3 Решение. Ответ: Работник получит 87%, то есть 0,87 от начисленной заработной платы, то есть 0,87 · = рублей.

Январь, 2015 Задание 4 Задание на выполнение расчета по данной формуле. Характеристика задания ПРИМЕР Найдите v 0 из равенства v = v 0 + at, если v = 25, t = 3 и a = 6.

Январь, 2015 Задание 4 Решение. Ответ: 7. По данной формуле находим, что v 0 = v – at = 25 – 6 · 3 = 25 – 18 = 7.

Январь, 2015 Задание 5 Несложная задача на вычисление значения выражения. Характеристика задания ПРИМЕР Найдите cos α, если sin α = –0,6 и 270° < α < 360°.

Январь, 2015 Задание 5 Решение. Ответ: 0,8. Поскольку 270° 0. Искомое значение найдем по формуле

Январь, 2015 Задание 6 Несложная арифметическая текстовая задача на использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Характеристика задания ПРИМЕР Конфета стоит 4 руб. 30 коп. Какое наибольшее число конфет можно купить на 50 рублей?

Январь, 2015 Задание 6 Решение. Ответ: 11. Решать задачу можно по-разному, например, поделив 50 на 4,3 с остатком и получив в качестве целой части 11. Можно сделать прикидку, сообразив, что 10 конфет стоят 43 рубля и, чтобы при покупке не выйти за пределы 50 рублей, добавить к этим 10 конфетам можно еще только одну.

Январь, 2015 Задание 7 Несложное рациональное, показательное, логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное уравнение. Характеристика задания ПРИМЕР Найдите корень уравнения

Январь, 2015 Задание 7 Решение. Приведя левую и правую части уравнения к степеням числа 6, получим уравнение 6 7x – 12 = 6 2, откуда 7x – 12 = 2, и значит, x = 2. Ответ: 2.

Январь, 2015 Задание 8 Несложная задача по планиметрии, связанная с практическими расчетами площадей, длин, углов. Характеристика задания ПРИМЕР В квартире две прямоугольные комнаты. Размеры первой комнаты 4 м × 6 м, а размеры второй комнаты 3 м × 7 м. Какая из этих комнат больше по площади? В ответ запишите площадь меньшей комнаты в квадратных метрах.

Январь, 2015 Задание 8 Решение. Площадь первой комнаты равна 4 · 6 = 44 м 2, площадь второй комнаты равна 3 · 7 = 21 м 2. Ответ: 21.

Январь, 2015 Задание 9 Несложное задание на различение и сопоставление различных величин или характеристик с единицами их измерения. Характеристика задания ПРИМЕР Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Январь, 2015 Задание 9 Величины Возможное значение А) рост ребенка 1) 21 км Б) толщина листа бумаги 2) 26 км В) длина автобусного маршрута 3) 0,1 мм Г) высота жилого дома 4) 108 см (продолжение) В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. АBCD

Январь, 2015 Задание 9 Решение. Понятно, что рост ребенка не может быть равен ни 21 км, ни 26 м, ни 0,1 мм. Поэтому в данном случае он равен 108 см. Аналогично находим, что толщина листа бумаги равна 0,1 мм, длина автобусного маршрута равна 21 км, высота жилого дома равна 26 м. Таблица имеет вид: Ответ: АБВГ 4312

Январь, 2015 Задание 10 Несложная задача по теории вероятностей или статистике. В коробке лежит 10 одинаковых по внешнему виду конфет, в трех из которых нет фруктовой начинки. Ваня берет одну конфету. Найдите вероятность того, что в этой конфете будет фруктовая начинка. ПРИМЕР Характеристика задания

Январь, 2015 Задание 10 Решение. Число конфет с фруктовой начинкой равно 7, число всех конфет равно 10. Поэтому искомая вероятность равна 0,7. Ответ: 0,7.

Январь, 2015 Задание 11 Характеристика задания Задание на чтение графика функции (диаграммы), моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию. График (диаграмма) характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины. Как правило, в задании требуется найти наибольшее (наименьшее) значение этой величины, разность между наибольшим и наименьшим значением, время, когда величина достигает данного значения, вычислить среднее значение величины.

Январь, 2015 Задание 11 ПРИМЕР На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Хабаровске по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Хабаровске отрицательна.

Январь, 2015 Задание 11 (продолжение)

Январь, 2015 Задание 11 Решение. Для ответа на вопрос задачи достаточно «посчитать столбики», расположенные в нижней полуплоскости относительно горизонтали, соответствующей нулевой температуре. Таких столбиков ровно 5. Ответ: 5.

Январь, 2015 Задание 12 Задание на анализ практической ситуации: несложная текстовая задача (возможно, с табличными данными) на оптимальный выбор, моделирующая реальную или близкую к реальной ситуацию. Характеристика задания ПРИМЕР Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Январь, 2015 Задание 12 Переводчики Языки Стоимость услуг (руб. в день) 1Немецкий, испанский Английский, немецкий Английский Английский, французский Французский Испанский 8000 (продолжение)

Январь, 2015 Задание 12 Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает рублей в день. В ответе для собранной группы укажите номера переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов. (продолжение)

Январь, 2015 Задание 12 Решение. Для решения задачи достаточно выполнить несложный перебор. Требованию задачи удовлетворяют, например, переводчики 1, 3, 5. Ответ: 135.

Январь, 2015 Задание 13 Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объемов многогранников (пирамид и призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения. Характеристика задания

Январь, 2015 Задание 13 ПРИМЕР В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах

Январь, 2015 Задание 13 Поскольку диаметр основания второго цилиндра в 4 раза больше диаметра основания первого, то и радиус основания второго цилиндра в 4 раза больше радиуса основания первого. Поэтому площадь основания второго цилиндра будет в 16 раз больше площади основания первого. Решение.

Январь, 2015 Задание 13 Поскольку объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту и этот объем не менялся, уровень жидкости во втором сосуде будет в 16 раз ниже уровня жидкости в первом и составит Решение (продолжение). Ответ: 4.

Январь, 2015 Задание 14 Задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции. Характеристика задания

Январь, 2015 Задание 14 ПРИМЕР На рисунке изображен график функции y = f(x), к которому проведены касательные в четырех точках.

Январь, 2015 Задание 14 Точки Значения производной А0 B– 1,2 C0,35 D– 4,56 В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. АBCD В таблице указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной. (продолжение)

Январь, 2015 Задание 14 Значение производной функции в данной точке равно тангенсу угла, который касательная к графику, проведенная в этой точке, образует с положительным направлением оси абсцисс. Решение.

Январь, 2015 Задание 14 Решение (продолжение). Ясно, что рисунок не позволяет в явном виде вычислить значения тангенсов для трех точек из четырех данных. Поэтому для решения задачи требуется провести определенный анализ имеющихся данных.

Январь, 2015 Задание 14 Решение (продолжение). Если касательная параллельна оси абсцисс, это значение равно нулю. Следовательно, точке С соответствует значение 1 из правого столбца таблицы. Поскольку при параллельном переносе одной из двух прямых угол между этими прямыми не меняется, для определения знака производной удобно мысленно провести прямую, параллельную касательной, через начало координат.

Январь, 2015 Задание 14 Решение (продолжение). Если эта прямая расположена в первой и третьей четвертях, то угол, образуемый ею (а значит, и касательной) с положительным направлением оси абсцисс, будет острым (его тангенс положителен, следовательно, положительно и значение производной в точке касания). Этому случаю отвечает касательная, проходящая через точку D, следовательно, точке D соответствует значение 3 из правого столбца таблицы.

Январь, 2015 Задание 14 Решение (продолжение). Если эта прямая расположена во второй и четвертой четвертях, то угол, образуемый ею с положительным направлением оси абсцисс, будет тупым (его тангенс отрицателен, следовательно, отрицательно и значение производной в точке касания). Этому случаю отвечают касательные, проходящие через точки А и В, при этом очевидно, что касательной, проходящей через точку А, отвечает больший по величине тупой угол, поэтому ему соответствует большее по величине значение тангенса.

Январь, 2015 Задание 14 Решение (окончание). Следовательно, точке А соответствует значение 2 из правого столбца таблицы, а точке В значение 4 из правого столбца таблицы. Ответ: 2413.

Январь, 2015 Задание 15 Несложная планиметрическая задача, в том числе, по готовому чертежу. Характеристика задания ПРИМЕР В треугольнике ABC угол AСB равен 90°, BC = 26. Отрезок CH высота треугольника ABC. Найдите длину отрезка ВH.

Январь, 2015 Задание 15 Решение. Поскольку BH = BC · cos B, для решения задачи нужно найти cos B. Для этого можно использовать основное тригонометрическое тождество: Следовательно, Ответ: 24.

Январь, 2015 Задание 16 Задача на вычисление элементов, площадей поверхностей или объемов многогранников или тел вращения. Характеристика задания ПРИМЕР Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 45. Найдите объем пирамиды D 1 ABC.

Январь, 2015 Задание 16 Решение. Высоты пирамиды и призмы, проведенные из вершины D 1, совпадают, а площадь основания пирамиды вдвое меньше площади основания призмы. Пусть V 1 и V 2 объемы пирамиды и призмы соответственно, h их общая высота. Тогда Ответ: 7,5.

Январь, 2015 Задание 17 Несложное рациональное, показательное и логарифмическое неравенство, их системы. Характеристика задания ПРИМЕР Каждому из четырех неравенств слева соответствует одно из решений, изображенных на координатной прямой справа. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Январь, 2015 Задание 17 Неравенства Решение А) 2x(x – 1) < 01) Б)2) В) 4(x – 1) 2 > 03) Г) 5x(x – 1) > 04) АBCD В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. (продолжение)

Январь, 2015 Задание 17 Решение. Решением неравенства А является промежуток (0; 1); решением неравенства Б промежуток (–; 1); неравенство В выполняется при всех значениях переменной, кроме 1; решение неравенства Г объединение промежутков (–; 0) U (1; +). Ответ: 3142.

Январь, 2015 Задание 18 Задание, проверяющее умение проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения. Характеристика задания

Январь, 2015 Задание 18 ПРИМЕР Известно, что Паша выше Даши, Маша выше Глаши, а Саша ниже и Даши, и Маши. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных. 1) Паша самый высокий из всех. 2) Даша и Маша одного роста. 3) Саша ниже Глаши. 4) Паша выше Саша. В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Январь, 2015 Задание 18 Из того, что Паша выше Даши, а Саша ниже Даши, следует, что Паша выше Саши, то есть утверждение 4. Данные утверждения не позволяют сравнить, в частности, рост Паши и Маши, Даши и Маши, Саши и Глаши. Поэтому ни одно из трех первых утверждений не следует из данных. Решение. Ответ: 4.

Январь, 2015 Задание 19 Задача на вычисление значения числового или буквенного выражения, нахождение чисел, удовлетворяющих определенным условиям. Характеристика задания ПРИМЕР Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр которого равна 19, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Январь, 2015 Задание 19 Остаток от деления квадрата натурального числа на 3 равен либо 0 (если число делится на 3), либо 1 (если число не делится на 3). Поэтому сумма квадратов трех натуральных чисел делится на 3, только если каждое из этих чисел делится на 3 (но тогда сумма их квадратов делится на 9, что противоречит условию) либо если ни одно из этих чисел не делится на 3. Решение.

Январь, 2015 Задание 19 Попробуем подобрать три натуральных числа, меньших 10, ни одно из которых не делится на 3 и сумма которых равна 19, начав с наибольшего из возможных, 8. Тогда следующим по убыванию будет 7, и, значит, последнее число это 4. Проверкой легко убедиться, что сумма квадратов найденных чисел (она равна 129) на 9 не делится. Ответом может быть любое трехзначное число, составленное из цифр 8, 7, 4, например, 874. Решение (окончание).

Январь, 2015 Задание 20 Задача, проверяющая умение моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры. Характеристика задания

Январь, 2015 Задание 20 ПРИМЕР Первого числа каждого нечетного месяца, начиная с января, Витя клал на свой беспроцентный банковский счет рублей, а первого числа каждого четного месяца, начиная с февраля, снимал рублей. Первого числа какого по счету месяца на счету Вити оказалось ровно рублей?

Январь, 2015 Задание 20 Из условия задачи следует, что первого числа каждого нечетного месяца, начиная с марта, сумма на счету Вити увеличивалась на рублей по сравнению с предыдущим, нечетным месяцем. Поэтому с до рублей она вырастет за 4 следующих после января нечетных месяца, то есть первого сентября. Решение. Ответ: 9.