Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Расстояние от точки до плоскости. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Расстояние от точки М до плоскости (АВС), не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Поэтапно вычислительный метод. Через точку М провести плоскость α, перпендикулярную плоскости (АВС) и опустить перпендикуляр на пересечение плоскостей α и(АВС). Длина полученного перпендикуляра =ρ(М;(АВС)) М А В ρ Пример С α

Метод параллельных прямых и плоскостей. Расстояние от точки M до плоскости (АВС) равно расстоянию до плоскости (АВС) от произвольной точки P, лежащей на прямой l, которая проходит через точку M и параллельна плоскости АВС. М А В ρ Пример С l P ρ

Метод параллельных плоскостей. Расстояние от точки M до плоскости (АВС) равно расстоянию до плоскости (АВС) от произвольной точки P, лежащей на плоскости α, которая проходит через точку M и параллельна плоскости (АВС). М А В ρ С α P ρ

Метод объемов. Если объём пирамиды АВСМ равен V ABCM, то расстояние от точки M до плоскости (АВС) вычисляют по формуле М А В ρ(М;(АВС))= Пример С ρ В общем случае рассматривают равенство объёмов одной фигуры, выраженные двумя независимыми способами.

Координатный метод. 1)Ввести удобную систему координат. 2)Вычислить координаты точек M, А, В и С. 3)Написать уравнение плоскости ax+by+cz+d=0 4)Найти ρ(М;(АВС)) по формуле; Назад Пример Как вычислить координаты внутренней точки С отрезка АВ, если АС:СВ=k? Вывод уравнения плоскости смотри по адресу:

Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC, если известно, что SA=2, AC= AB=4 и BC= SC= SB=. Решение: А В С S M H Д. п. М – середина ВС (АВС) проходит через ВС Д. п. Найдем неизвестные стороны треугольника ASM

Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC, если известно, что SA=2, AC= AB=4 и BC= SC= SB=. Назад Решение: А В С S M H Из треугольника АМВ Из треугольника SMC А S M H Из треугольника SНM Ответ:

В единичном кубе ABCDA B C D найти расстояние от точки С до плоскости АВ С. А С В D D1D1 В1В1 O O1O1 Гусаревич Александр 10В. Д. п. (АВ 1 С) проходит через АС Найдем неизвестные стороны треугольника ВВ 1 О Решение: || (медиана р/б треугольника АВ 1 С ) (диагонали квадрата) С А1А1 E

В единичном кубе ABCDA B C D найти расстояние от точки С до плоскости АВ С. (половина диагонали единичного квадрата) (= ребру куба) Из треугольника ВВ 1 О Гусаревич Александр 10В. С В D D1D1 В1В1 O O1O1 С А1А1 E Решение: А Ответ: Назад

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания ABC. Найдите расстояние от точки A до плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD, если AD=,AB=AC=10, BC= A B C D K M N H Решение: ( средняя линия треугольника АВС) Из треугольника ADC ( средние линии равных треугольников ADB и ADC) K NM Е ρ(A;(KMN))=

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания ABC. Найдите расстояние от точки A до плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD, если AD=,AB=AC=10, BC= A B C D K M N H Решение: А MN Q ρ(A;(KMN))= Ответ: Назад

B В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. A A1A1 B1B1 C C1C1 D1D1 DE F1F1 F E1E1 F A B C D Е X Y Z X Y Введем прямоугольную систему координат Решение: хе-хе yЕyЕ хBхB yByB Тогда: хBхB хе-хе yByB yЕyЕ

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. Выведем уравнение плоскости (ВЕD 1 ) Решение: Вычислим ρ(А;(ВЕD 1 )) по формуле Ответ: Назад

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е )В кубе ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и C 1 B 1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости треугольника EPF. Тренировочные упражнения Решение 3) В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E – середина ребра AA 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED 1 (ЕГЭ 2012). Решение

Тренировочные упражнения Решение 4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF. Решение 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точка M – середина ребра AA 1, точка K – середина ребра BB 1. Найдите расстояние от вершины А 1 до плоскости СМK, если AA 1 =6, AB = 4 (ЕГЭ 2011).

А С С D D1D1 А1А1 В1В1 F В E Решение: P 1)В кубе ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и C 1 B 1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости треугольника EPF. Введем прямоугольную систему координат X Y Z Тогда: Выведем уравнение плоскости (ЕFP) Задачи

Решение: 1)В кубе ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и C 1 B 1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости треугольника EPF. Задачи

Решение: 1)В кубе ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, ребро которого равно 4, точки E и F – середины ребер AB и C 1 B 1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости треугольника EPF. Вычислим ρ(А 1 ;(EFP)) по формуле Ответ: Задачи

B 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. A C C1C1 D1D1 DE F1F1 F E1E1 К F AB C D Е К Д. п. (BD 1 E) проходит через BE Решение: || B1B1 H A1A1 Задачи

B В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. A B1B1 C C1C1 D1D1 DE F1F1 F E1E1 К F AB C D Е К Решение: H F 1 H найдем как высоту треугольника F 1 D 1 K. Для этого найдем его стороны. Из треугольника FED: A1A1 Задачи

B В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. A A1A1 B1B1 C C1C1 D1D1 DE F1F1 F E1E1 К Решение: H F1F1 К D1D1 H Задачи

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А 1 до плоскости ВD 1 Е. F1F1 К D1D1 H Решение: Задачи

3) В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E – середина ребра AA 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED 1 (ЕГЭ 2012). С D D1D1 В1В1 В Решение: А1А1 С E А Искомое расстояние есть высота пирамиды D 1 AEB, проведенная к основанию ED 1 B. Найдем объем пирамиды. За основание примем АВЕ, тогда высота – AD. ρ(A;(BED 1 ))=

Задачи 3) В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E – середина ребра AA 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED 1 (ЕГЭ 2012). С D D1D1 В1В1 В Решение: А1А1 С E А (диагональ прямоугольного параллелепипеда) Найдем стороны треугольника BED 1. Из треугольника АЕВ:

Задачи 3) В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 В 1 С 1 D 1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E – середина ребра AA 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED 1 (ЕГЭ 2012). С D D1D1 В1В1 В Решение: А1А1 С E А E D1D1 В Н ρ(A;(BED 1 ))=

АВ С DЕ F S K Решение: Ответ: Задачи 4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF. Введем прямоугольную систему координат X Y Z F A B C D Е X Y yFyF хBхB yByB Тогда: хFхF (середина BS) O

АВ С DЕ F S K Решение: Ответ: Задачи 4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF. X Y Z (середина BS) O

Решение: Ответ: Задачи 4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF. Запишем уравнение плоскости KDF

Решение: Ответ: Задачи 4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от точки A до плоскости KDF. - уравнение плоскости KDF ?

N Д. п.: N – середина А 1 В 1, Е – середина МК, тогда С 1 N (АА 1 В 1 ) (перпендикуляр, опущенный на пересечение перпендикулярных плоскостей) Решение: Задачи А A1A1 B C 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точка M – середина ребра AA 1, точка K – середина ребра BB 1. Найдите расстояние от вершины А 1 до плоскости СМK, если AA 1 =6, AB = 4 (ЕГЭ 2011). C1C1 M K B1B1 E H Д. п. (КСМ) проходит через МК ||

N Решение: Задачи А A1A1 B C 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точка M – середина ребра AA 1, точка K – середина ребра BB 1. Найдите расстояние от вершины А 1 до плоскости СМK, если AA 1 =6, AB = 4 (ЕГЭ 2011). C1C1 B1B1 E H NE=3 (половина NF). А1А1 F B1B1 C1C1 N Из треугольника FЕC Из треугольника NCC 1 NH найдем из треугольника NHC.

N Решение: Задачи А A1A1 B C 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точка M – середина ребра AA 1, точка K – середина ребра BB 1. Найдите расстояние от вершины А 1 до плоскости СМK, если AA 1 =6, AB = 4 (ЕГЭ 2011). C1C1 M K B1B1 E H В треугольнике NEC F Из треугольника HNC

При создании презентации использовано пособие: