Пространственная теорема Пифагора

Три формулировки теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов; Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон; Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые две взаимно перпендикулярные прямые.

СA B BC 2 =AB 2 +AC 2 (1. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

2. Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон OO1O1 OO2O2 A1A1 A C B1B1 OC 2 =OA 2 +OB 2 OA=O 1 A 1 OB=O 2 B 1 B

3. Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые Доказательство: 1) Отрезки A 1 B 1 и AC – это проекции отрезка АВ на две взаимно перпендикулярные прямые к плоскости Y. По теореме Пифагора (3 формул.) AB 2 =A 1 B 1 2 +AC 2 ; b c a p q B1B1 B1B1 B2B2 B A1A1 A1A1 A2A2 A C Y

2) Спроектируем отрезок A 1 B 1 на прямую а в отрезок А 1 В 1 и на прямую b в отрезок А 2 В 2. По теореме Пифагора A 1 B 1 2 =A 1 B 1 2 +A 2 B 2 2 ; 3) По теореме о проекциях отрезки А 1 В 1 и А 2 В 2 – это проекции отрезка АВ на прямые a и b. А 3 В 3 АС. А 3 В 3 =АС; 4) Заменяя длины АС и А 1 В 1 длинами проекций А 1 В 1, А 2 В 2, А 3 В 3, получаем равенство: AB 2 =A 1 B 1 2 +A 2 B 2 2 +A 3 B 3 2 c p q B1B1 B1B1 B2B2 B A1A1 A2A2 A C b A1A1 а B3B3 A3A3

Задача Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной a, а боковые грани – квадраты. Необходимо найти диагонали оснований призмы.

Решение Диагональные сечения призмы представляют собой прямоугольники, у которых основаниями являются диагонали оснований призмы, а высотами – высота призмы. Диагонали основания равны: большая 2a и меньшая a. Т.к. высота призмы равна стороне основания а, то площади диагональных сечений равны 2 а 2 и а 2. Решение

Диагонали призмы являются диагоналями диагональных сечений. По теореме Пифагора диагонали призмы равны

Теорема Пифагора – это Главная и самая замечательная Теорема геометрии. Теорема Пифагора замечательна уже тем, что она вовсе не очевидна. Если оглянуться на доказанные теоремы, то можно заметить, что почти каждая из них становится очевидной, если только хорошо понять ее содержание, хотя точное доказательство может быть не очень простым.

Всегда хочется быть выше перед страхом казаться неумелым… Будь уверен в себе все получится!!! Автор: Марко Анна