Исследование функции

Цель: закрепление умения самостоятельного применения знаний по исследованию функций. Задачи: образовательные: повторение и закрепление основных этапов исследования функции; устранение пробелов в знаниях; применение знаний по исследованию функций в решении поставленных задач; развивающие: развитие творческих качеств личности (внимания, памяти, логичности, аналитичности, прогностичности); развитие познавательного интереса к математике; воспитательные: воспитание математической культуры и речи; воспитание коммуникативных и творческих качеств личности: умения общаться с учителем и друзьями, организация своей деятельности на уроке, организация деятельности в группе, осознанного видения себя в учебном процессе.

Построение графиков функций Графики функций можно строить "по точкам" - вычислять значения функции в большом количестве точек, отмечать их на координатной плоскости, а затем соединять их линиями. Однако, этот способ неэффективен, так как требует большого количества вычислений, более того - в случае построения графика более или менее нетривиальной функции, он приведет к неизбежным ошибкам. Предположим (см. рис. 1), что мы вычислили значения функции в 15 точках и отметили их на координатной плоскости. Естественно предположить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, проходящей через все эти точки (см. рис. 2). Однако, настоящий график (который, безусловно проходит через все эти 15 точек), может быть совершенно не похож на наш предполагаемый эскиз. Оказывается, можно с легкостью определять "ключевые" моменты поведения графика функции при помощи аналитических исследований. Это позволит сократить объем вычислений для построения графика, а так же, что главное, позволит избежать ошибок

Построение эскиза графика функции по имеющейся информации Пусть нам известна некоторая информация о какой-то функции. 1. Функция определена на объединении промежутков (- ; -10), (-10;10), (10; ). 2. Функция обращается в нуль в точках -11 и 0, отрицательна на интервалах (- - 11) и (-10; 0), положительна на интервалах (-11; -10), (0; 10), (10; ). 3. Функция возрастает на промежутках (- ; -10), (-10; 10), [12; 15] и убывает на промежутках (10; 12) и [15; ). 4. Функция имеет минимум в точке 12, причем f(12)=16. Функция имеет максимум в точке 15, причем f(15)= Значение функции неограниченно возрастает по абсолютной величине при приближении аргумента к -10 и 10. Совокупность вышеперечисленных сведений помогает нарисовать эскиз графика и при этом избежать ошибок, возникающих при построении эскиза графика функции по точкам.

Пример исследования функции для построения эскиза графика Исследуем функцию f(X)=1/(x 2 +1) и согласно полученным результатам нарисуем эскиз ее графика. Сначала найдем область определения функции. Так как знаменатель дроби не обратится в нуль ни при каких значениях x, функция определена на всей числовой прямой - x может принимать любые значения. Заметим, что функция f(x) четная, так как f(-x)=1/((-x) 2 +1)=1/(x 2 +1)=f(x). Так как функция четная, то достаточно ее исследовать и построить эскиз графика только для положительных х, а затем отразить эскиз относительно оси ординат. Теперь найдем точки пересечения графика функции с координатными осями. С осью ординат график пересекается в точке (0; f(0)). Для нашей функции это точка (0;1), так как f(0)=1. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0. Уравнение 1/(x 2 +1)=0 не имеет действительных корней, значит график f(x) не пересекает ось абсцисс. Из этого можно сделать вывод, что график функции либо весь располагается над осью абсцисс (функция всюду положительная), либо весь под ней (функция всюду отрицательна). Очевидно, что дробь 1/(x 2 +1) при любых х принимает положительные значения, значит график нашей функции весь располагается над осью абсцисс. При построении графика функции очень полезно иметь информацию о промежутках возрастания и убывания функции. Используя определения возрастающих и убывающих функций, можно определить, что f(x) возрастает на промежутке (-; 0] и убывает на промежутке [0; ). Таким образом, в точке x=0 возрастание функции сменяется на убывание. f(0)=1. Так же заметим, что при неограниченном увеличении аргумента знаменатель f(x) неограниченно увеличивается, следовательно значение функции спадает до нуля (неограниченно приближается к нулю). Исходя из четности функции можно сказать, что функция ведет себя точно так же и при неограниченно уменьшении аргумента. Исходя из полученной информации мы можем нарисовать эскиз графика функции, он представлен на рисунке ниже.

Схема исследования функций для построения графика В общем случае исследование функции для построения графика включает в себя следующие этапы: 1. Найти область определения и области значений функции. 2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, которые могли бы облегчить построение графика. Например, важны сведения, является ли функция четной или нечетной или периодической. 3. Вычислить координаты пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Определенить промежутки возрастания и убывания функции. 6. Найти точки экстремума (максимума и минимума) функции и вычислить в них значения функции. 7. Если у функции есть характерные точки, не входящие в ее область определения, то необходимо исследовать поведение функции в их окрестностях для того, чтобы понять, куда стремится значение функции при устремлении значения аргумента к этой (характерной) точке. Очевидно, что этот план имеет примерный характер и некоторые пункты выполнять не получится - не все уравнения можно решить аналитически, существуют так же другие сложности.

Упражнения

Автор: Сабитова Файруза Рифовна учитель математики 1 квалификационной категории