Розв'язування тригонометричних рівнянь

Мета уроку: Створення умов для засвоєння знань і умінь розв'язувати тригонометричні рівняння виду a sinx + b cosx = c. Формування новичок самоконтролю і взаємоконтролю, алгоритмічної культури учнів. Развиток усної математичної мови. Удосконалювати уміння старшокласників: порівнювати,аналізувати, развивати навички обробки інформації. Развивати комунікативні уміння ділового спілкування однолітків. Виховання культури записів.

Перевірка домашнього завдання sin7x – sin x =cos4x

Розв'язання. sin7x – sin x =cos4x, 2sin3x cos4x - cos4x =0, сos4x ( 2sin3x – 1 )=0, сos4x=0 или 2cos3x -1 =0 сos4x=0 4x =П/2+Пn, n Z; cos3x =1/2, X=П/8 +Пn/4, n Z, 3x =±аrccos1/2 +2Пn, n 3x =±П/3 +2Пn, n Z, X =±П/9 + 2/3Пn, n Z. Відповідь: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n Z

Розв'язати рівняння sin²x - cos²x = cos4x

Розв'язання. sin²x-cos²x =cos4x, - (cos² - sin²x )=cos4x, -cos2x = cos²2x - sin²2x, -cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0, -2cos²2x – cos2x +1 = 0, 2cos²2x + cos2x -1 = 0. Заміним сos2x на У, де |У| 1 Тоді 2 у² +у -1 = 0, D =1 - 42(-1) =9, У =1/ 2, у = -1. Виконаємо обернену заміну Cos2x =1/ 2, cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n Z, 2x =±arccos1/2 =2Пn, n Z, x=П/2+Пn, n Z. 2x ±П/3 +2Пn. n Z, X =±П/6+Пn, n Z. Відповідь : X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n Z.

Розв'язати рівняння з підручника 2 (1) 2 (8)

COS X = a, де|a| 1

x = arccos a + 2n, nZ arccos (– a) = - arccos a

sin X = a, де|a| 1

x=(–1) n arcsin a + n, n Z arcsin (– a) = – arcsin a

tg x = a, де a R

x = arctg a + n, n Z arctg (– a) = – arctg a

cos x = 0

x = + n, n Z

cos x = 1

x = +2 n, n Z

cos x = -1

x = +2 n, n Z

sin x =0

x = n, n Z

sin x =1

x = +2 n, n Z

sin x = -1

x = - +2 n, n Z

Розв'язати рівняння 4sin²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0

Відповіді. 4sin²x - 4 sinx – 3 = 0 ( -1) n+1 П/6 +Пn, n Z. 2 сos²x – sin x – 1 = 0 ±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n Z.

Рівняння:

Рівняння:

Рівняння. Поділивши рівняння на, одержимо,, При розвязанні цієї задачі обидві частини рівняння були поділені на. Нагадаємо, що при ділені рівняння на вираз, який містить невідоме, можуть бути втрачені корені. Тому необхідно перевірити,чи неявляються корені рівняння коренями даного рівняння. Якщо, то із рівняння слідуєт, що. Але і не можуть одночасно дорівнювать нулю, так як вони зв'язані рівністю. Отже, при діленні рівняння де,, на (або ) одержуємо рівняння, рівносильне даному.

Рівняння. Використовуючи формули sin x = 2 sin cos, cos x = cos 2 - sin 2 і записуючи праву частину рівняння в вигляді, одержуємо Поділивши це рівняння на, Одержуємо рівносильне рівняння Позначимо, одержуєм, звідки. 1) 2) Відповідь:.0 2 cos 2 2 sin xxxx

Дане рівняння являється рівняннми виду, (1) де,,, яке можна розв'язати другим способом. Поділим обидві частини цього рівняння на :. (2) Введем допоміжний аргумент, такий, що. Таке число існує, так як. Таким чином, рівняння можна записати в вигляді. Посліднє рівняння являється простішим тригонометриченим рівнянням.

Розв'язати рівняння

Тут Поділимо обидві частини рівняння на 5: Введем допоміжний аргумент, такий, що,. Початкове рівняння можна записати в вигляді, звідки Відповідь: