Урок – практикум по теме: «Урок одной задачи» РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ Храпова Светлана Николаевна, учитель математики КГУ «Гимназия 1 г. Темиртау»

3 х² + 2 х -1 = 0 Решить квадратное уравнение

I способ 3 х² + 2 х -1 = 0 По общей формуле D = b 2 – 4ac; D = = 16 = уравнение имеет 2 корня х = -1 ; 1/3. Ответ: -1; 1/3. ) =,

II способ 3 х² + 2 х -1 = 0 По формуле с чётным коэффициентом b D 1 = ( b/ 2) 2 – ac; D 1 = = 4 = – уравнение имеет 2 корня х = = -1; 1/3. Ответ: -1; 1/3

III способ 3 х² + 2 х -1 = 0 По теореме Виета (прямой и обратной) х 1 + х 2 = - b ; х 1 + х 2 = -2/3; х 1 * х 2 = с ; х 1 * х 2 = -1/3 Значит х 1 = -1, х 2 = 1/3. Ответ : -1; 1/3.

IV способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Способ «переброски» «Перебросим» коэффициент 3 к свободному члену, в результате получим уравнение у у – 3 = 0; Согласно теореме, обратной теореме Виета у 1= - 3; у 2= 1, х = - 3/3 = -1 ; х = 1/3. Ответ : -1; 1/3.

V способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Свойства коэффициентов квадратного уравнения Если а + в + с = 0, то х 1 = 1, а х 2 = с / а; если а + с = в, то х 1 = - 1, а х 2 = - с / а. Из условия а+с=в имеем а + с = 3 + ( -1 ) = 2 = b, значит х 1 = -1; а х 2 = 1/3. Ответ: -1 ; 1/3.

VI способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Выделение полного квадрата 3 х х – 1 =0 / :3; х 2 + 2/3 х – 1/3 = 0; ( х 2 + 2* 1/3*х + 1/9 ) – 1/9 – 1/3 = 0; ( х + 1/3 ) 2 – 4/9 = 0; ( х + 1/3 – 2/3 ) ( х + 1/3 + 2/3 ) = 0; ( х – 1/3 ) ( х + 1 ) = 0; х – 1/3 = 0 или х + 1 = 0 ; х = 1/3 х = -1. Ответ: -1; 1/ 3

VII способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Метод переброски старшего коэффициента 3 х х – 1 = 0; / *3 ( домножаем на старший коэффициент, чтобы первое слагаемое было полным квадратом ) 9 х х – 3 = 0; ( 3 х ) 2 + 2* ( 3 х ) - 3 = 0; Пусть 3 х = t, тогда t 2 + 2t – 3 = 0; t 1 = 1, t 2 = -3; 3 х = 1; 3 х = -3; х = 1/3, х = -1. Ответ: -1; 1/3.

VIII способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Приведение к виду ( f( x) ) 2 = ( g(x) ) 2 3 х х – 1 = 0; 4 х 2 – х х – 1 = 0; 4 х 2 = х 2 – 2 х + 1; ( 2 х ) 2 = ( х – 1 ) 2 ; |2 х | = | х - 1 |; 2 х = х – 1 2 х = 1 – х ; х = - 1, х = 1/3. Ответ: -1; 1/3.

IХ способ 3 х² + 2 х -1 = 0. Разложение на множители способом группировки 3 х х – 1 = 0; 3 х х – х - 1 = 0; 3 х ( х + 1) – ( х + 1 ) = 0; ( х + 1 ) ( 3 х – 1 ) = 0; х + 1 = 0, 3 х – 1 = 0; х = -1, х = 1/3. Ответ: - 1; 1/3.

Х способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Уменьшение степени уравнения Подбором находим, что х 1 = -1 - корень уравнения. Разделим квадратный трёхчлен 3 х х – 1 на х х х – 1 = ( х + 1 ) ( 3 х – 1 ), х 1 = - 1, х 2 = 1/3. Ответ: - 1; 1/3

ХI способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Графический 3 х 2 = -2 х + 1. Строим в одной системе координат графики функций : у = 3 х 2 и у = -2 х + 1. Абсциссы точек пересечения графиков функций - корни уравнения: х 1 = -1, х 2 = 1/3. Ответ: - 1; 1/3 Это неточный способ решения уравнений.

ХII способ С помощью циркуля и линейки Решим уравнение х х - 3 = 0 Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: х=-b/2a,y=(a+c)/2a. х=1, у= - 1. Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ: - 1; 3.

ХIIIспособ 3 х² + 2 х -1 = 0 С помощью номограммы Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

ХIV способ 3 х² + 2 х -1 = 0 Геометрический способ В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.