Предел последовательности

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6… Продолжите ряд 77, 49, 36, 18… Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей.

1. Рукава многих галактик расположены в соответствии с этой последовательностью. 2. Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против, другая по часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13.

Когда потоки воды двигаются по океану и волны прилива подходят к берегу, они изгибаются в форме спирали, которая может быть математически отражена на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.

Ветви, листья деревьев, ракушки, морские звезды, ушная раковина человека, тюльпаны и другие цветы, и особенно раковины моллюсков - сформированы по той же самой схеме. С каждым приростом раковина добавляет себе ещё один сегмент в соответствии с масштабом Фибоначчи.

Паук плетет паутину спиралеобразно по тому же принципу. Спиралью закручивается ураган...

Ячейки ананаса расположены в 8 правосторонних, 13 левосторонних, 21 вертикальных спиралей.

Семена подсолнуха располагаются в двух пересекающихся спиралях с количеством соцветий 34 и 55 или 55 и 89 согласно последовательности Фибоначчи.

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы

Леонардо Пизанский или Фибоначчи Схемы, по которыми сформированы лепестки, листья и семена цветов, соответствуют определённым числам.

Леонардо Фибоначчи (родился около 1170 умер после 1228), итальянский математик.

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения …. Божественная пропорция. Оказывается что число ФИ -Строительный камень, который господь Бог использовал для создания Мира.

Блез Паскаль (1623 – 1662 ). Французский математика XVII

Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:

Треугольник Паскаля.

Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим числами Фибоначчи : для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1; для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3; для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8; для 7 диагонали – =13 ….

Треугольник Паскаля.

Геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель (y n ) : 2,4,8… 12, 2 4, 3 8… y(n)= y n = 2 n, nN Арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d – разность (y n ): 2,5,8… 12, 2 5, 3 8… y(n)= y n = 3n-1, nN

План конспекта Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности: ограниченные сверху, снизу. Монотонные последовательности : убывающие и возрастающие. Свойства монотонности и ограниченности последовательностей y n = q n

Вопросы Что называют последовательностью?

Определение. Функцию вида у= f(х), х N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f(n) = у n или (у n ): у 1, у 2,у 3,… Примеры. 1) 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; 2) арифметические и геометрические прогрессии, 3) 5,5,5,…-постоянная или стационарная

Вопросы Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны?

Способы задания последовательностей Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d - разность геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель Аналитический (формулой n-го члена) у n = n 2 у n = C, где С=const у n = 2 n

Вопросы Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной?

Ограниченная последовательность -ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3 Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е. у n М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n 2,… ограничена сверху, М=-1,0,… Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n m, m- нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n 2,… ограничена снизу m=1,½, …

Вопросы Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной? Какие последовательности называют монотонными? Дайте определение возрастающей последовательности, убывающей?

Монотонные последовательности Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего,т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2,… Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего,т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…-n 2,…

Вопросы Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной? Какие последовательности называют монотонными? Дайте определение возрастающей последовательности, убывающей? Что вам известно о последовательностях у = q n ?

y n =2 n 2,4,8,16,32,…- q= Возрастающая, ограниченная снизу y n =3 n -? q= ? у = q n, q>1 Вывод ? y n =(1/2) n ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…- q= Убывающая, ограниченная снизу, сверху, т.е. ограниченная y n =(1/3) n -? q= ? у = q n и 0<q<1 Вывод ? Свойство 1. Если q>1, то у = q n - возрастает, ограничена снизу Свойство 2. Если 0<q<1, то у = q n - убывает, ограничена

План конспекта Окрестность точки Предел последовательности Формулы вычисления пределов последовательностей Свойства пределов последовательностей Правила вычисления пределов Техника вычисления пределов

Вопросы Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей. Какими приемами пользуются для вычисления пределов последовательностей. Назовите имя выдающегося математика, именем которого названа теорема о свойстве пределов.