Р е ш е н и я самостоятельной р а б о т ы

2 Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий m, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу n. Классическое определение вероятности Сумма вероятностей всех событий, входящих в полную группу равна 1. Пример: Опыт – один раз выбрасывается монета. А – выпал орел Р(А)=0,5 В – выпала решка Р(В)=0,5 Полная группа.

3 Два события, образующие полную группу называются противоположными. В – за одно выбрасывание выпал орел А – за одно выбрасывание выпала решка А и В – противоположные события Классическое определение вероятности

4 Вероятность наступления суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Пример: Найти вероятность того, что в результате одного выбрасывания игральной кости выпадет шестерка или двойка. Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/6) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/6) - несовместны. Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Классическое определение вероятности

5 Вероятность наступления суммы совместных событий равна сумме вероятностей наступления этих событий минус вероятность их произведения. Пример: Найти вероятность того, что в результате двух выбрасываний игральной кости выпадет один раз шестерка или один раз двойка. Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/12) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/12) - совместны. Классическое определение вероятности

6 Используется классическое определение вероятности в задачах

1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест Неудобных мест 12+18=30 Событие А – досталось удобное место. Р(А)=30/300=0,1 Всего событий – 300 (равно количеству мест) Ответ:0,1 Решение:

2. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Благоприятных событий – 4. Всего событий – 16. Р=4/16=0,25 Ответ:0,25

3. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение: Возможные комбинации пар из 5 человек (1, 2, 3, 4, 5) Всего - 10 У каждого 4 шанса Р=4/10=0,4 Ответ: 0,4

4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры А- «Статор» начинает игру Решение: В- начинает игру другая команда «Статор» играет с тремя командами Возможные комбинации: ААА ААВ АВА ВАА АВВ ВВА ВАВ ВВВ Всего - 8 Благоприятное - 1 Ответ:0,125

5. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта Решение: - всего рейсов. Попасть на первый рейс (равно как и на второй и на любой имеющийся) – один шанс из пяти. Ответ:0,2

6. На рок-фестивале выступают группы по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых Решение: Возможные комбинации (независимо от количества групп): ДШН ДНШ ШДН ШНД НДШ НШД 6 - вариантов Благоприятных - 2 Ответ:0,33

7. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0, Решение: События «ничья», «выиграла», «проиграла» составляют полную группу. =>Р(ничья)=1-Р(выиграла)-Р(проиграла)=1-0,4-0,4=0,2

Решение: Условию удовлетворяют три независимых события: А – команда выиграла в первой и во второй игре. Р(А)=0,40,4=0,16 В – команда выиграла в первой игре и во второй сыграла вничью. Р(В)=0,20,4=0,08 С – команда выиграла во второй игре и в первой сыграла вничью Р(С)= 0,20,4=0,08 Ответ:0,32 А, В, С -несовместны Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

15 Используется понятие «Сумма несовместных событий»

8. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем Решение: Событие А – вопрос на тему «Вписанная окружность» Событие В – вопрос на тему «Параллелограмм» События А и В – несовместны. (Если достался первый, то не достался второй.) Ответ:0,35

9. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до Решение: Ответ:0,38 В=А+СА и С - несовместны

10. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач Решение: Ответ:0,07 С=А+ВА и В - несовместны

19 Используется понятие «Произведение совместных событий»

11. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза Решение: Возможные исходы, удовлетворяющие условию: 1 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5) 2 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5) 3 игра – жребий не выигран Р=0,5 (Вероятность решки=0,5) Порядок игр в данной задаче не имеет значения. События совместны. Событие А – жребий выигран ровно два раза Р(А)=0,50,50,5=0,125 Ответ:0,125

12. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными Решение: Ответ:0,8836 События А 1 и А 2 - совместны

22 Используется понятие «Произведение совместных событий и сумма несовместных»

13. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода Решение: А 4 – 4 июля хорошая погода. Р(А 4 )=0,8 В 4 – 4 июля отличная погода. Р(В 4 )=1-0,8=0,2 А 5 – 5 июля хорошая погода. Р(А 5 )=0,8·0,8+0,2·0,2=0,68 В 5 – 5 июля отличная погода. Р(В 5 )=0,2·0,8+0,8·0,2=0,32 В 6 – 6 июля отличная погода. Р(В 6 )=0,32·0,8+0,68·0,2=0,392 Ответ:0,392 ?

24 Событие А 5 – 5 июля хорошая погода возможно в двух случаях. Была хорошая и осталась такой. Вероятность=0,8·0,8 (была и осталась – совместные события) Была отличная и изменилась. Вероятность=0,2·0,2 (была и изменилась – совместные события) Случаи несовместны => Р(А 5 ) = сумме вероятностей двух событий

14. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку 0,8, по иностранному языку 0,7 и по обществознанию 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей Решение:

26 Решение: А – набрано не менее 70 баллов по математике. Р(А)=0,6 В – набрано не менее 70 баллов по русск. языку. Р(В)=0,8 С – набрано не менее 70 баллов по англ. языку. Р(С)=0,7 D – набрано не менее 70 баллов по обществозн. Р(D)=0,5 Все эти события совместны Вероятность поступления только на «Лингв.» = 0,6·0,8·0,7·(1-0,5)=0,168 Вероятность поступления только на «Комм.» = 0,6·0,8·0,5(1-0,7)=0,072 Вероятность поступления хотя бы на одну специальность = =0,168+0,072+0,168=0,408 Ответ:0,408 Вероятность поступления на обе специальности= 0,6·0,8·0,7·0,5=0,168 Все эти события несовместны

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен Решение: Событие А – исправен первый автомат Р(А)=1- 0,05=0,95 Событие В – исправен второй автомат АВ – исправны обаР(АВ)=0,950,95=0,9025 Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В)=0,95+0,95-0,9025=0,9975 Ответ:0,9975 Р(В)=1-0,05=0,95 А+В– хотя бы один исправен События А и В – совместны.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах Решение: Событие А – кофе закончилось в первом автомате Р(А)=0,3 Событие В – кофе закончилось во втором автомате D – кофе закончилось в двух автоматах Р=1-Р(С)=0,52 Р(D)=0,12 Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В)=0,3+0,3-0,12=0,48 Ответ:0,52 Р(В)=0,3 С– кофе закончится хотя бы в одном из двух События А и В – независимы События «кофе закончилось хотя бы в одном» и «осталось в обоих» - противоположны.