Прогнозирование ARMA- МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С «ПРОПУСКАМИ» БГУ, ФПМИ, МАГИСТРАНТ Лобач Сергей Викторович

Линейный фильтр Калмана Оценивание состояний линейной динамической системы:

Представление модели в пространстве состояний max{p, q+1} - представление (Brockwell and Davis, 1987; Harvey, 1989; Box, Jenkins, 1994) m-вектор состояния, наблюдения и шум взаимно некоррелированный

ARMA(p, q) модель в пространстве состояний

Линейный фильтр Калмана Рекуррентные формулы

Инициализация фильтра Начальная оценка состояния и ковариация ошибки начальной оценки:

Линейный фильтр Калмана Фильтр Калмана позволяет строить x t линейные, рекуррентные, несмещенные и оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки состояний x t. Необходима подходящая модификация рекуррентных формул в случае неполных данных («пропусков») в наблюдениях и «засорения» данных.

Модели пропусков 1. Наблюдаются только компоненты y t с номерами: i 1 (t), i 2 (t),…, i mt (1 i 1 (t) i 2 (t) … i mt m) в момент времени t; 2. Наблюдается только линейная комбинация y 1 (t)+y 2 (t)+…+ y mt всех компонент вектора y t 3. Вектор наблюдений y t полностью отсутствует в момент времени t

Случай неполных данных Размерность наблюдаемого вектора в новой модели изменяется со временем.

Решение проблемы фильтрации в случае пропусков Замена ненаблюдаемого вектора y t на оценку Замена в рекуррентных формулах: Допускается переменная размерность вектора состояния,

Численный пример ARMA(4,3) 1. В наблюдаемом векторе y t - (3x1) присутствуют пропуски 2. Распределение пропусков ~ Bi(1, p), p ~ R[0.3, 0.8]. 3.Max(p, q+1) - представление в пространстве состояний 4. a 1 =0.1; a 2 =0.26; a 3 =0.35; a 4 =0.11; b 1 =0.02; b 2 =0.03; b 3 =0.4; T=100

Численный пример ARMA(4, 3) Модель в пространстве состояний с многомерными наблюдениями

Результаты моделирования (наблюдения)

Результаты моделирования (оценка вектора состояния) Оценка состояния Состояние системы

15 ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Задача фильтрации В самой общей постановке задача фильтрации формулируется так: На некотором вероятностном пространстве задан частично наблюдаемый случайный процесс у которого наблюдается может лишь вторая компонента В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях давать оценку ( ненаблюдаемых) значений.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Пусть имеется вектор состояний, который задается нелинейным уравнением и наблюдения где f и h действительные, возможно векторные функции ; w(k), v(k)- случайные величины.

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Распределение вероятностей начального состояния и распределение случайных величин в уравнении состояния и в канале измерений предполагаются известными, т е функции известны, но являются не обязательно гауссовскими. Требуется оценить значение x(k) по наблюдениям до момента к включительно.

Известно, что лучшей оценкой независимого параметра (в среднеквадратическом смысле) является условное математическое ожидание Таким образом, задача сводится к нахождению условных математических ожиданий. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Для нахождения условного математического ожидания нужно знать условные плотности распределений вероятностей в каждый момент времени. Будем вычислять рекуррентно по формулам ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Алгоритм 1. Выберем сетку узлов 2. Для каждой условной плотности в каждый момента времени строим векторы: элементы которых вычисляются по формулам: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

3. Применяем прямое диадное дискретное преобразование для каждого из векторов строим вейвлет-коэффициенты базис преобразования(один из возможных): ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

4. Делаем обратное вейвлет-преобразование по формулам 5. Далее строим векторы где матрица Z определяется: 6. Приближение плотности в виде сеточной функции строится: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

7. Оценка неизвестного состояния В приложении рассмотрено решение задачи фильтрации со следующими функциями: гауссовские с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями 1, 0.5 и 0.1 соответственно. Начальное значение x(0)=10. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Результаты вычислений: x(k) s(k)

25 ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Заключение 1. Разработан алгоритм фильтрации временных рядов на основе вейвлет- преобразования условной плотности вероятностей распределения ненаблюдаемой компоненты временного ряда. 2. Алгоритм представлен в форме диадного вейвлет-преобразования, удобного для компьютерной реализации. 3. Приведен модельный пример, иллюстрирующий эффективность работы алгоритма.

Выводы: достоинства алгоритма + Лучший в классе линейных фильтров + Рекуррентная природа + Априорная оценка точности результатов средствами самого алгоритма + Устойчивость к выбросам + Широкая сфера применения: навигация, финансовая эконометрика, статистика

Выводы: недостатки алгоритма –Необходимость наличия априорной информации о характеристиках шумов –Неопределенность в выборе начального состояния и ковариационной матрицы ошибки оценки начального состояния

Спасибо за внимание!