«И З ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ ". Вспомним историю математики.

К ТО ХОЧЕТ ОГРАНИЧИТЬСЯ НАСТОЯЩИМ БЕЗ ЗНАНИЯ ПРОШЛОГО, ТОТ НИКОГДА ЕГО НЕ ПОЙМЕТ Г.В. Л ЕЙБНИЦ. П РЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ НАСТОЛЬКО СЕРЬЕЗЕН, Ч ТО ПОЛЕЗНО НЕ УПУСКАТЬ СЛУЧАЕВ С ДЕЛАТЬ ЕГО НЕМНОГО ЗАНИМАТЕЛЬНЫМ Б ЛЕЗ П АСКАЛЬ

П ЛАН 1 страница: Древнегреческие ученые. 2 страница: Три знаменитые классические задачи древности 3 страница: Замечательные кривые 4 страница: Своя игра.

У ЧЕНЫЕ ДРЕВНЕЙ Г РЕЦИИ

В ЕЛИКИЙ МАТЕМАТИК Е ВКЛИД. В геометрии нет царской дороги. Евклид

до Р. Х.) один из великих математиков древнего мира.

А РХИМЕД А РХИМЕД 287 год до н. э год до н. э.

С МЕРТЬ А РХИМЕДА

П РЕДПОЛАГАЕМАЯ ГРОБНИЦА А РХИМЕДА В С ИРАКУЗАХ

П ИФАГОР С АМОССКИЙ - ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЙ ФИЛОСОФ И МАТЕМАТИК Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.

П ИФАГОР - ЭТО НЕ ИМЯ, А ПРОЗВИЩЕ, КОТОРОЕ ФИЛОСОФ ПОЛУЧИЛ ЗА ТО, ЧТО ВСЕГДА ГОВОРИЛ ВЕРНО И УБЕДИТЕЛЬНО, КАК ГРЕЧЕСКИЙ ОРАКУЛ. (П ИФАГОР - " УБЕЖДАЮЩИЙ РЕЧЬЮ ".)

Ф АЛЕС ( ОК.624- ОК.546 ДО Н. Э.)

Т РИ ЗНАМЕНИТЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ Т РИ ЗНАМЕНИТЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ

Древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: об удвоении круга. об удвоении круга. о трисекции угла о квадратуре круга

З АДАЧА О ТРИСЕКЦИИ УГЛА Рис.2 Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла, т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 о. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой произвольный отрезок, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2 CAB равен 60 о, то = 30 о. Построим биссектрису угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла:,,. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла, однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки.

З АДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

З АДАЧА ОБ УДВОЕНИИ КУБА З АДАЧА ОБ УДВОЕНИИ КУБА Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов. Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению x ³ = 2 a ³, или x = Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2 а ², служит отрезок длиной а, т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2 а ³, т.е. отрезок х, равный, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

П ОДВЕДЕМ ИТОГ Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.

Замечательные кривые

С ПИРАЛЬ А РХИМЕДА Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно- вращающемуся радиусу. Построение архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности: 1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют; 2. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03,... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III,...; 3. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0

Н ИКОМЕД (N ΙΚOΜΉΔΗΣ, ЛАТ. N ICOMEDES, III ВЕК ДО Н. Э.) ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЙ МАТЕМАТИК. Никомед занимался классическими математическими проблемами квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок.

К ОНХОИДА Н ИКОМЕДА Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую конхоиду (похожая на раковину), которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды. В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени.

П ОСТРОЕНИЕ КОНХОИДЫ Н ИКОМЕДА Конхоида определяется таким образом : на плоскости фиксируется прямая L и точка О, и задается произвольное число a. Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой L в обе стороны откладываются отрезки фиксированной длины а = MM '= MM". Вторые концы этих отрезков (M', M") образуют конхоиду.