Элементы комбинаторики Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества, а потому не ищет от него лекарства. Роджер Бэкон

Комбинаторика- область математики, занимающаяся решением задач, в которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций

Выборки Размещение Arrangement Перестановка Permutation Сочетание Combunatorion

Основные правила комбинаторики Правило суммы Правило суммы Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, то выбор "либо A, либо B " можно осуществить n+m способами. Правило суммы Правило произведения Правило произведения Если объект A можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать (независимо от выбора объекта A) m способами, то пары объектов A и B можно выбрать n*m способами. Правило произведения

Правило суммы Пример 1: Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой - 40 различных книг (и нет таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой - 40 различных книг (и нет таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно 30+40=70 способами =70 способами.

Правило произведения Пример: Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число очков встретилось на обеих костях)?

Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется "дублем", т.е. костью вида 00, 11, 22, 33,44, 55,66, а в 21 случае - костью с различными числами очков(например, 05, 13 и т.д.). В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора. Значит по правилу суммы получаем =294 способов выбора пары. Значит по правилу суммы получаем =294 способов выбора пары.

Практическая работа Задание 1 Задание 1 Задание 2 Задание 2 Задание 3 Задание 3 Задание 4 Задание 4 Задание 5 Задание 5 Задание 6 Задание 6

Задание 1 Сколькими способами можно рассадить 15 учеников на ЕГЭ по математике за 15-ю партами Сколькими способами можно рассадить 15 учеников на ЕГЭ по математике за 15-ю партами

Задание 2 Сколькими способами можно составить код на двери домофона, состоящий из двух цифр. Сколькими способами можно составить код на двери домофона, состоящий из двух цифр.

Задание 3 Сколькими способами можно достать все карандаши из коробки цветов, вытаскивая каждый раз по одному. Сколькими способами можно достать все карандаши из коробки цветов, вытаскивая каждый раз по одному.

Задание 4 Составьте комиссию из 3 членов для экзамена по математике, если в школе всего 7 математиков. Сколько таких комиссий можно составить. Составьте комиссию из 3 членов для экзамена по математике, если в школе всего 7 математиков. Сколько таких комиссий можно составить.

Задание 5 Из Вашего класса собираются отправить астронавтов для полёта на Марс, сколько всевозможных экипажей из 5 человек можно составить из учащихся нашего класса - 24 человека. Из Вашего класса собираются отправить астронавтов для полёта на Марс, сколько всевозможных экипажей из 5 человек можно составить из учащихся нашего класса - 24 человека.

Эвристическая задача

Долгое время комбинаторику вообще рассматривали как вспомогательную дисциплину для теории вероятностей, но теперь она приобрела самостоятельное значение.