В з а и м н о о б р а т н ы е ф у н к ц и и

D( f ) E( f ) y = f(x) x y 0 х Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве определена функция. Понятие функции у D( f ) – область определения функции E( f ) – множество значений (область значений) функции С понятием функции связаны 2 задачи

Задача. у = f (x), x - ! Найти значение у при заданном значении х. Задача. у = f (x), у - ! Найти значение х при заданном значении у. Дано: у = 2 х + 3 Найти: у (5) Решение: у (5) = 2 · = 13 Ответ: у (5) = 13 Дано: у = 2 х + 3, у (х) = 42 Найти: х Решение: 42 = 2 х х = 39 х = 19,5 Ответ: у (19,5) = 42 Прямая Обратная

у х х у у х у х Какой из графиков соответствует графику функции у= х ? х у х у

Какой из графиков соответствует графику функции у=х 3 ?

у х в 0 х 2 у х г 0 б у а у х Какой график соответствует функции?

у х а 0 х у -2-2 г 0 в у х у х б 0 Какой график соответствует функции ?

г у х у х в 0 б у х у х а 0 Какой график соответствует функции ?

у х б 0 у х 2 2 г 0 у х 2 в 0 а у х Какой график соответствует функции ?

Дано : Найти: t – ? Решение:, т.е. Обратимая функция Обратная функция к v( t )

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х,х, то эту функцию называют обратимой. Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у: у = g(x). Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).

Дано: Найти функцию, обратную данной, т. е. функцию f -1 (x). Решение: Ответ:

х у у D(у) = (-;2) (2;+) 2.Е(у) = (-;0) (0;+) 2. Е(у)=(-;2) (2;+) 1.D(у) = (-;0) (0;+)

1. Область определения обратной функции f -1 совпадает с множеством значений исходной f, а множество значений обратной функции f -1 совпадает с областью определения исходной функции f: D(f -1 ) = E(f), E(f -1 ) = D(f). 2. Монотонная функция является обратимой: если функция f возрастает, то обратная к ней функция f -1 также возрастает; если функция f убывает, то обратная к ней функция f -1 также убывает. Свойства обратных функций

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х. х у 0 (х 0 ; у 0 ) х 0 х 0 у 0 у 0 (у 0 ; х 0 ) у = х

у х у у = f(x) у = g(x) у = x 2, х < 0 1.D(f)=R 2.E(f)=R 3. возрастающая 1.D(g)=R 2.E(g)=R 3. возрастающая 1.D(y)=(-;0] 2.E(y)=[0;+) 3. убывающая 1.D(y)=[0;+) 2.E(y)=(-;0] 3.убывающая

х у у х Дано: у = х 3 Построить функцию, обратную к данной. Решение: х у 0 Построить график функции, обратной данной. у = х