Возрастание и убывание тригонометрических функции

Цели урока: закрепить умение в исследовании функции на четность и нечетность; рассмотреть решение заданий

Исследуйте на четность функцию:

1. Исследуйте на четность функцию: а) б) в) 2. Функции и определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция четной или нечетной, если и – четные функции.

Определение Числовые функции, заданные формулами y=sin(x) и y=cos(x) называют соответственно синусом и косинусом (обозначают соответственно sin и cos). Область определения этих функций - вся прямая действительных чисел. Область значения этих функций - отрезок [-1;1]: D(sin)=D(cos)=R E(sin)=E(cos)=[-1;1] Функция sin(x) является нечетной функцией: sin(-x)=-sin(x) Функция cos(x) является четной функцией: cos(-x)=cos(x) Обе функции sin(x) и cos(x) являются периодическими с периодом T=2π: sin(x+Tn)=sin(x) cos(x+Tn)=cos(x), где n - любое целове число.

Возрастание и убывание функции синус. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-π/2+2πn ; π/2+2πn], n - целое. В силу периодичности функции синуса доказательство достаточно провести для отрезка [-π/2 ; π/2]. Пусть x 2 > x 1. Применим формулу разности синусов и найдем: Из неравенства -π/2 x 1 < x 2 π/2 следует, что и, поэтому и, следовательно и. Это доказывает, что на указанных промежутках синус возрастает. Аналогичным образом легко доказать, что промежутки [π/2+2πn ; 3π/2+2πn], n - целое, являются промежутками убывания функции синуса. Полученный результат можно легко проиллюстрировать с помощью рисунка единичной окружности (см. рисунок ниже). Если -π/2 t 1 < t 2 π/2, то точка P t2 имеет ординату большую, чем точка P t1. Если же π/2 t 1 < t 2 3π/2, то ордината точки P t2 меньше, чем ордината точки P t1.

Возрастание и убывание функции косинус Промежутками возрастания косинуса являются отрезки [-π+2πn ; 2πn], n - целое. Промежутками убывания косинуса являются отрезки [2πn ; π + 2πn], n - целое. Доказательство этих утверждений можно провести аналогично доказательству для синуса. Однако, проще воспользоваться формулой приведения cos(x) = sin(x + π/2), из которой сразу следует, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки возрастания синуса, сдвинутые на π/2 влево. Аналогичное утверждение можно сделать и для промежутков убывания.

Упражнение 87

Упражнения 85 а,в 86 80

87 г 86 в Домашнее задание

Автор: Сабитова Файруза Рифовна преподаватель математики 1 квалификационной категории