Исследование свойств функции при помощи производной (задача В8 открытого банка задач ЕГЭ). г. Мурманск МБОУ гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.

Монотонность и производная. Исследуем, как ведет себя производная функции на промежутках возрастания и убывания. У Х abcde f(x) f´(x) Для этого проведем касательные на соответствующих промежутках. Знаем: если угол с положительным направлением Ох острый – производная в данной точке положительна; если тупой - отрицательна

Экстремумы. Исследуем, как ведет себя производная функции в точках экстремума. У Х abcde Для этого проведем касательные в соответствующих точках. Видим: касательные, проведенные в соответствующих точках параллельны Ох. Угловой коэффициент таких касательных =0. Следовательно производная в этих точках равна нулю.

Экстремумы. Достаточно ли для экстремума, чтобы производная функции в соответствующей точке была равна нулю? У Х k В точке k касательная параллельна Ох (производная равна нулю), но экстремума нет. Назовем внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю стационарными. abcde

Экстремумы. Необходимо ли для экстремума, чтобы производная функции в соответствующей точке была равна нулю? У Х l В точке l касательную провести нельзя. Тем не менее в ней существует минимум. Назовем внутренние точки области определения, в которых производная не существует критическими.

Экстремумы. Необходимо ли для экстремума, чтобы производная функции в соответствующей точке была равна нулю? У Х Для того, чтобы во внутренней точке области определения существовал экстремум необходимо и достаточно, чтобы производная функции в этой точке изменила знак.

Важно при решении задач открытого банка понимать следующее: Точка – подразумевается абсцисса точки. Сумма точек – подразумевается сумма абсцисс точек.

Сделаем выводы. f(x)f´(x) Касательная, проведенная к графику функции в т. а параллельна Ох f´(x) = 0 f(x ) имеет максимум точке а f´(x) существует и меняет знак с плюса на минус в точке а f(x ) имеет минимум точке а f´(x) существует и меняет знак с минуса на плюс в точке а

У Х Прототип 1. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(х) положительна.

У Х Прототип 2. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(х) отрицательна. f(x)<0, если функция убывает. За исключением точек экстремума. В них производная равна нулю. Определим промежутки убывания функции без вышеуказанных точек. Подсчитаем количество целых точек на этих промежутках.

У Х Прототип 3. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. -7+(-4)+(-3)+(-2)+(-1) =7

У Х Прототип 4. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Условие убывания функции f(х) на промежутке: f´(х)0 Подсчитаем сумму целых точек на этих промежутках. Определим промежутки, на которых производная функции принимает неположительные значения (график не выше Ох). -7+(-6)+(-5)+(-4) =13

У Х Прототип 5. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2.

У Х Прототип 6. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2 х+3 или совпадает с ней. Так как касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у=2 х+3 или совпадает с ней, то она имеет такой же угловой коэффициент =2 Определим, сколько раз производная принимает значение = 2. Следовательно, значение производной в точках касания =2 (геометрический смысл производной). 2

У Х Прототип 7. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек экстремума функции на отрезке [-5;7].

У Х Прототип 8. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [-5;7]. В точке экстремума меняется характер монотонности функции (возрастание сменяется на убывание и наоборот). Найдем такие точки на заданном промежутке Подсчитаем сумму их абсцисс =0

У Х Прототип 9. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек максимума функции на отрезке [-6;6]

У Х Прототип 10. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек максимума функции на интервале (-3;4). Условие максимума функции: производная меняет знак с плюса на минус. На графике производной ищем такие точки на заданном промежутке (неформально: график производной уходит под Ох)

У Х Прототип 11. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите количество точек минимума функции на отрезке [-7;8]

У Х Прототип 12. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них. Определим промежутки возрастания функции. Наибольший промежуток возрастания имеет длину =

У Х Прототип 13. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

У Х Прототип 14. На рисунке изображён график функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них. Определим промежутки убывания функции. Наибольший отрезок убывания имеет длину =5.

У Х Прототип 15. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наименьшего из них.

У Х Прототип 16. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). В какой точке отрезка [1;6] функция принимает наибольшее значение? На заданном промежутке производная функции в одной точке меняет знак с плюса на минус. Если функция на промежутке имеет одну точку максимума, то именно в ней она достигает наибольшего значения. Следовательно имеет один максимум на этом промежутке. 5

У Х Прототип 17. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). В какой точке отрезка [-5;4] функция принимает наименьшее значение? 5 -4

У Х Прототип 18. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). В какой точке отрезка [-3;2] функция принимает наименьшее значение? На заданном промежутке производная функции всегда положительна (график производной выше Ох). Если функция на промежутке только возрастает, то наименьшее значение она принимает при наименьшем значении х из этого промежутка. Следовательно функция f(х) на этом промежутке только возрастает. 5 -3

У Х Прототип 19. На рисунке изображён график производной функции f(x) определенной на интервале (-8;10). В какой точке отрезка [6;8] функция принимает наименьшее значение? 5 8

Дополнительный ресурс: