Дорофеева Лилия Ильинична учитель математики МБОУ СОШ 6, г.Нижнекамск Республики Татарстан Решение задач С2 методом координат

Единичный куб z x y A (1; 0; 0) A 1 (1; 0; 1) B (1; 1; 0) B 1 (1; 1; 1) C (0; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) D (0; 0; 0) D 1 (0; 0; 1)

Правильная треугольная призма С1С1 А В С А1А1 В1В1 c a х у z O

Прямоугольный параллелепипед z x y с b a A (a; 0; 0) A 1 (a; 0; c) B (a; b; 0) B 1 (a; b; c) C (0; b; 0) C 1 (0; b; c) D (0; 0; 0) D 1 (0; 0; c)

Прямоугольная шестиугольная призма z y x a b C B A a a DE F C(a; 0;0) C 1 (a; 0;c) F (- a; 0;0)F 1 (- a; 0;c)

Правильная четырёхугольная пирамида z y x a h

Правильная шестиугольная пирамида z x y C (a; 0;0) a h

Правильная треугольная призма С1С1 А В С А1А1 В1В1 х у z H a с

Правильная треугольная пирамида х y O z H h

Угол между прямой и плоскостью Прямая а образует с плоскостью угол. Плоскость задана уравнением: ах+ву+сz+d=0 и - вектор нормали, Синус угла определяется по формуле:

Угол между прямыми Вектор лежит на прямой а, Вектор лежит на прямой в. Косинус угла между прямыми а и в:

Угол между плоскостями 1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана уравнением: и ее вектор нормали плоскость задана уравнением и ее вектор нормали. Косинус угла между плоскостями:

Расстояние от точки до плоскости Расстояние h от точки до плоскости, заданной уравнением ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:

Примеры решения задач 1. В единичном кубе найти угол между прямыми и х y z Введем систему координат и найдем координаты точек A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), B 1 (1; 0; 1), C 1 (1; 1; 1) Находим координаты направляющих векторов прямых и по формуле 1. Косинус угла между прямыми определяется по формуле 1.1:

х z y 2. В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью Плоскость совпадает с плоскостью грани ; зададим ее с помощью точек Уравнение плоскости примет вид Вектор нормали : Синус искомого угла: Введем систему координат и находим координаты нужных точек. Найдем координаты вектора Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости

3. В правильной четырехугольной пирамиде, все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD, где Е- середина ребра SC х y z Координаты точки Е определим по формуле 3: Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0 Из того, что следует, что d=0, b+d=0 и : Отсюда получим, что и уравнение плоскости ADS примет вид:. Вектор нормали Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2

х y z 4. В единичном кубе А…,найти расстояние от точки А до прямой Находим координаты точек, вектора Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК. Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении, то координаты точки К определяются по формуле 1.5: К

5. В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости х y z Координаты точек Подставив координаты точек в общее уравнение плоскости получим систему уравнений: Уравнение плоскости примет вид: Вектор нормали: Вычислим расстояние h от точки А до плоскости по формуле 1.4:

6. В единичном кубе, найти расстояние между прямыми и х y z При параллельном переносе на вектор прямая отображается на прямую. Таким образом, плоскость содержит прямую и параллельна прямой. Расстояние между прямыми и находим как расстояние от точки В до плоскости Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости. Так как Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0.. Вектор нормали Расстояние h от точки до плоскости находим по формуле

Литература: 1. Каталог задач: 2. Образовательный портал»Физ/мат класс»: 3. Открытый банк задач: 4. Федеральный институт педагогических измерений: