Ісаак Ньютон Готфрід Лейбніц

Архімед

Нікколо Тарталья Йоганн Кеплер Нікколо Тарталья Рене Декарт

«За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час» Ісаак Ньютон

Швидкість зміни функції у точці називається похідною функції у точці

Таблиця похідних

Правила обчислення похідних

Г ЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ ПОЛЯГАЄ У НАСТУПНОМУ : КУТОВИЙ КОЕФІЦІЄНТ ДОТИЧНОЇ ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ У = F ( X ), ЩО ПРИВЕДЕНА У ТОЧЦІ ЦЬОГО ГРАФІКА З АБСЦИСОЮ Х 0 ДОРІВНЮЄ ПОХІДНІЙ ФУНКЦІЇ У = F ( X ) У ЦІЙ ТОЧЦІ, ТОБТО K = F '( X 0 ).

О СКІЛЬКИ K = TG Α, ДЕ Α - КУТ, ЯКИЙ УТВОРЮЄ ДОТИЧНА З ДОДАТНІМ НАПРЯМОМ ОСІ АБСЦИС, ТО У ВИПАДКУ F '( X 0 ) > 0, КУТ Α - ГОСТРИЙ, ЯКЩО F '( X 0 ) = 0, ТО ДОТИЧНА ПАРАЛЕЛЬНА ОСІ АБСЦИС ( АБО СПІВПАДАЄ З НЕЮ ), А У ВИПАДКУ F '( X 0 ) < 0, КУТ Α - ТУПИЙ. Приклад 1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = х 2 в точці з абсцисою х 0 = -1. Розвязання. k = f '(-1). Оскільки f '(x) = (х 2 ) = 2х, то k = 2 (-1) = -2.

П РИКЛАД 2. З НАЙДІТЬ КУТ НАХИЛУ ДО ОСІ АБСЦИС ДОТИЧНОЇ, ПРОВЕДЕНОЇ ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ F ( Х ) = 2, ЩО ПРОВЕДЕНА В ТОЧЦІ А(1; 2). Р ОЗВ ЯЗАННЯ. Т ОДІ A ТОМУ Α = Π /4.

П РИКЛАД 3. Н А ГРАФІКУ ФУНКЦІЇ ЗНАЙДІТЬ ТАКІ ТОЧКИ, В ЯКИХ ДОТИЧНА, ПРОВЕДЕНА ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ, ПАРАЛЕЛЬНА ОСІ АБСЦИС. Р ОЗВ ЯЗАННЯ. Н ЕХАЙ Х 0 - АБСЦИСА ШУКАНОЇ ТОЧКИ. Т ОДІ, ВИХОДЯЧИ З УМОВИ F ( Х 0 ) = 0, МАЄМО : З НАХОДИМО X 0 = 0 АБО Х 0 = -2. О ТЖЕ, ВРАХОВУЮЧИ, ТАКИМИ ТОЧКАМИ Є ТОЧКИ (0;0) І (2;-4).

Р ІВЕНЬ ДОТИЧНОЇ ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ У = F ( X ), ЩО ПРОВЕДЕНА В ТОЧЦІ З АБСЦИСОЮ Х 0, ЩО НАЛЕЖИТЬ ГРАФІКУ ФУНКЦІЙ, МАЄ ВИГЛЯД П РИКЛАД 1. С КЛАДІТЬ РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ F ( X ) = LN Х + Х 2 В ТОЧЦІ З АБСЦИСОЮ Х 0 = 1. Р ОЗВ ЯЗАННЯ. Т ОМУ РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ МАЄ ВИГЛЯД : У = 1 + 3( Х - 1), АБО ПІСЛЯ СПРОЩЕННЯ У = 3 Х - 2. П РИКЛАД 2. С КЛАДІТЬ РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ F ( Х ) = Х Х + 7, ЯКА ПАРАЛЕЛЬНА ПРЯМІЙ У = 2 Х. Р ОЗВ ЯЗАННЯ. К УТОВИЙ КОЕФІЦІЄНТ ПРЯМОЇ У = 2 Х ДОРІВНЮЄ 2. Т ОМУ КУТОВИЙ КОЕФІЦІЄНТ ШУКАНОЇ ДОТИЧНОЇ ТАКОЖ МАЄ ДОРІВНЮВАТИ 2, ОСКІЛЬКИ ВОНА ПАРАЛЕЛЬНА ДО ПРЯМОЇ У = 2 Х. О ТЖЕ, F ( Х 0 ) = 2, ДЕ Х 0 - ШУКАНА ТОЧКА. М АЄМО F '( Х ) = 2 Х - 4. З РІВНЯННЯ 2 Х - 4 = 2 МАЄМО Х 0 = 3. Т ОДІ F (3) = З = 4. Ш УКАНЕ РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ : У = 4 + 2( Х - 3) АБО ПІСЛЯ СПРОЩЕНЬ У = 2 Х - 2.

Похідна в фізиці і у техніці

Р ІЗНІ ЗАДАЧІ, ЩО ПОВ ЯЗАНІ З ПОНЯТТЯМ ПОХІДНОЇ, ЗУСТРІЧАЛИСЯ У ПРАЦЯХ Н.Т АРТАЛЬЇ, Й.К ЕПЛЕРА, Р.Д ЕКАРТА ТА ІНШИХ. Рене ДекартИоганн КеплерНикколо Тарталья

І.Н ЬЮТОН СФОРМУЛЮВАВ І РОЗВ ЯЗАВ ОСНОВНУ ПРОБЛЕМУ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ : « ЗА ДАНОЮ ДОВЖИНОЮ ШЛЯХУ В БУДЬ - ЯКИЙ МОМЕНТ ЧАСУ ЗНАЙТИ ШВИДКІСТЬ РУХУ У ВКАЗАНИЙ ЧАС ». І ЯКЩО ВІН ВИХОДИВ ІЗ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ, ТО Г.Л ЕЙБНІЦ - ІЗ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ. Г.Л ЕЙБНІЦА ПЕРВІСНИМ ПОНЯТТЯМ ДЛЯ ПОХІДНОЇ БУЛА ДОТИЧНА, А У І.Н ЬЮТОНА – ШВИДКІСТЬ. Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц

РОЗВ ' ЯЗАННЯ : v(t )= x/ t де х- це координата переміщення матеріальної точки (тіла), t- проміжку часу, за який це переміщення відбувалось, тобто, функція швидкості руху v(t) є похідною від функції х(t). В момент часу t=4с швидкість дорівнює v =2*4-3=5м/с.

ПРИСКОРЕННЯ ШВИДКОСТІ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ А ( T ) Є ПОХІДНОЮ ВІД ФУНКЦІЇ ШВИДКОСТІ V ( T ). О СКІЛЬКИ ФУНКЦІЯ ШВИДКОСТІ РУХУ V ( T ) Є ПОХІДНОЮ ВІД ФУНКЦІЇ Х ( T ), ТО ФУНКЦІЯ ПРИСКОРЕННЯ ШВИДКОСТІ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ Є ДРУГОЮ ПОХІДНІЮ ФУНКЦІЇ Х ( T ), АБО ПОХІДНОЮ ДРУГОГО ПОРЯДКУ. А ( T ) = V ( T ) =( Х ( T )) В даному випадку прискорення стале для довільного значення t, тобто точка рухається рівноприскорено.

Застосування похідної до дослідження функції

З АСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ

П ИТАННЯ : 1. Яка функція називається зростаючою? 2. Яка функція називається спадною? 3. Що називається точкою мінімуму? 4. Що називається точкою максимуму? 5. Які точки називаються критичними?

З НАЙДИ ПОМИЛКУ : 1. На малюнку зображений графік функції. Чи є точки x 1 = 1, x 2 = -1, x 3 = 2 точками максимуму?

З НАЙДИ ПОМИЛКУ : 2. Критична точка є точкою екстремуму. Чи вірно це?

І СТОРИЧНІ ФАКТИ Саме він в 1797 році ввів поняття похідна, що являється буквальним перекладом французького слова deviree. Цей вчений ввів сучасне позначення похідної функції: y та f.

І СТОРИЧНІ ФАКТИ Один з творців (разом з І.Ньютоном) інтегрального та диференційного числення. В 1675 році довів обернений характер диференційного та інтегрального числення.

З АДАЧА Д ІДОНИ

П РАКТИЧНА РОБОТА : Дослідити функцію і побудувати графік f(x)=3х-x 3 Для функції f(x) знайдіть: 1. Область визначення. 2. Похідну. 3. Проміжки монотонності та екстремуми. 4. По результам дослідження побудуйте графіки функцій.

Ч И ЗНАЄТЕ ВИ, ЩО … перша жінка-математик С. В. Ковалевська сказала: «Математик повинен бути поетом в душі». Підберіть до графіків функцій, зображених на слайдах, прислівя, які розкривають сутність процесів функції.

Л ІТЕРАТУРНА СТОРІНКА Любищ з гірки кататися, люби й санчата возити. Повторення – мати навчання Як крикнеться, так і відгукнеться.

З АДАЧА НА ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО ( НАЙМЕНШОГО ) ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ Число 64 записати у вигляді суми двох додатних доданків, щоб сума їх квадратівбула найменшою.

Р ОЗВ ` ЯЗАННЯ Нехай один доданок буде х, тоді другий х. 0<x<64. Розглянемо функцію f(x)=x²+(64-x)² на [0;64] f(x)= 2х²-128x квадратична функція. f`(x)= 4x-128; 4х-128=0, х=32 Вона має єдину точку екстремуму: x = точка мінімуму. Ця точка належить відрізку [0;64]. f(32)<f(0)<f(64). Отже, ця функція набуває найменшого значення при х = 32. Шукані доданки 32 і 32.

В ІДПОВІДЬ : 32 і 32

Оцінюємо роботу учнів, які розв'язували завдання на дошці, а також тих, хто брав участь у повторенні теоретичного матеріалу Урок завершується читанням учнями власних віршів про похідну