Знання - це скарб, а розум – ключ до нього Вчитель математики Прохоренкова С. І.

Доброго дня! Сьогодні ми повторимо формули. Розглянемо способи доведення формул та наведемо приклади, а також вам будуть запропоновані завдання для самоперевірки. А тепер вперед. Бажаю успіху! Хлопчики та дівчатка! Я- ваш помічник, я проведу вас по темі : Формули скороченого множення

Історична сторінка Число – арифмос (греч.) Геометрія – гео – земля (греч.), метрео – міряю (греч.) Аль джебр – відновлення (арабск.) Число – арифмос (греч.) Геометрія – гео – земля (греч.), метрео – міряю (греч.) Аль джебр – відновлення (арабск.)

Евклід. Начала «Якщо відрізок яким-небудь чином розділити на два відрізки, то площа квадрата, побудованого на всьому відрізку, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з двох відрізків, та подвоєний площі прямокутника, сторонами якого є ці два відрізка.» Сенс цього виразу у формулі (а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Геометричне зображення цієї формули

різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Доведення: (a+b)(a-b)= a 2 -ab+ab-b 2 = a 2 -b 2

S- площа квадрата зі стороною a. По малюнку бачимо: S=S 1 +S 2 +2S 3 таким чином, маємо a 2 =b 2 +(a-b) 2 +2(a-b)b a 2 -b 2 =(a-b)(a-b+2b) a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) a S3 b b S1S1 a-b S2S2 b S3S3 Доведення: Доведено a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Ми розглянули два способи доведень формул. Бачите, що формулу можна доводити також і геометричним способом. Взагалі в математиці є три способи формулювання тверджень: Словесний – зрозумілий, але довгий, незручний; Геометричний – наглядний, але не завжди зручний для обчислень; Символьний – короткий, легко запам'ятовується. А зараз візьмемося до практичної роботи. Покажіть як застосовуються формула скороченого множення при розв'язуванні завдань.

Пригадаємо формули скороченого множення (а +b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 ; (а - b) 2 = а 2 – 2аb + b 2 ; а 3 – b 3 = (а – b)(а 2 + аb + b 2 ); а 3 + b 3 = (а + b)(а 2 -2аb + b 2 ); а 2 – b 2 = (а + b)(а – b).

Складіть алгебраїчний вираз 1. Сума квадратів чисел а та b. 2. Різниця між числом m та подвоєної суми чисел а і b. 3. Квадрат різниці чисел b та а. 4. Різниця квадратів чисел а та b, помножена на суму цих чисел.

Заповніть пропуски (а +…) 2 = … + 2аb + … ; (а … b) … = а 2 – 2аb + … ; а 3 - … = (а – b)(… + аb + …); а 3 + b 3 = (… …)(а 2 … + b 2 ); а 2 – b 2 = (… b)(а – …).

А зараз я пропоную вам познайомитись із задачею Піфагора.

«Будь-яке непарне число, крім одиниці, є різниця двох квадратів.» Розв'язування задачі: 1 спосіб: (n+1)2 - n2=(n+1-n)(n+1+n)=2n+1 – непарне число 2 спосіб. (n+1)2 - n2 = n2+2n+1-n2=2n+1 - непарне число В школі Піфагора ця задача розв'язувалась геометрично. Дійсно, якщо до квадрату зі стороною n додати гномом, що є непарним числом, 2n+1 (на мал. виділено червоним), то отримаємо квадрат зі стороною n+1, 22 n 2 +(2n+1)=(n+1) 2 або 22 (n+1) 2 – n 2 =2n+1

Розв'яжи : Варіант 1 (3x+4)(3x-4)= (2-5n)(5n+2)= (7с 2 +4x)(4x-7c 2 )= 81p 2 -16a 2 = 25-36b 4 d 2 = 0,49a 6 -1= (8х + 3)= (8х + 3) 2 = ( у – 4а ) = ( у – 4а ) 2 = Варіант 2 9x n 2 16x 2 -49c 2 (9p+4a)(9p-4a) (5-6b 2 d)(5+6b 2 d) (0,7a 3 -1)(0,7a 3 +1) (10х – 7у) = (10х – 7у) 2 = ( 10 – с ) = ( 10 – с ) 2 =

Обчислюємо швидко А я здогадався, як можна використати формулу різницю квадратів для того, щоб швидко обчислювати. Дивись та вчись =(29-28)(29+28)=1*57= =(73+63)(73-63)=136*10= =( )( )= -267

(а + b + с) 2 = а 2 + b 2 + с 2 + 2аb + 2ас + 2bс Геометричне доведення ЕРУДИТ

Знайдіть квадрат виразу: а) (а – х + у) 2 б) (а – b – с) 2

Ерудит Ерудит Будь-яке натуральне число, яке закінчується цифрою 5, можна записати у вигляді 10а + 5. Наприклад, 25 = 2· Доведемо, для того, щоб обчислити квадрат такого числа можна до а(а + 1) дописати справа 25. Доведемо, для того, щоб обчислити квадрат такого числа можна до а(а + 1) дописати справа 25. Наприклад, 25² = 625, як 2 ·(2 + 1) = 6. Наприклад, 25² = 625, як 2 ·(2 + 1) = 6. Доведення: Доведення: (10а + 5)² = 100a² + 100a + 25 = (10а + 5)² = 100a² + 100a + 25 = = 100a(a +1) + 25 = = 100a(a +1) + 25 = = a (a +1) · = a (a +1) · За цим правилом знайдіть 45², 75², 115².

Приклади варіантів деяких формул: a 2 + b 2 = (a + b) 2 – 2ab a 2 + b 2 = (a – b) 2 + 2ab а 2 = (a – b)(a + b) + b 2

a 2 = а 2 – b 2 + b 2 = (a – b)(a + b) + b 2, де b – доповнення числа а до круглого числа. Наприклад Обчислимо Кругле число а = 986, b = 14, а + b = 1000, a – b = = = =

ОБЧИСЛІТЬ САМОСТІЙНО 1) ) 488 2

Математичний софізм Розглянемо дві різниці 16 – 36 та 25 – 45 Розглянемо дві різниці 16 – 36 та 25 – 45 Додамо число Маємо: 16 – 36 + = 25 – 45 + Додамо число Маємо: 16 – 36 + = 25 – 45 + Запишемо ці вирази так: Запишемо ці вирази так: 4 2 – 2 * 4 * + = 5 2 – 2 * 5* + Використаємо формули : Отримаємо Доведемо, що 4=5

Ось і закінчився наш урок. На цьому уроці ви, діти, познайомились з формулами скороченого множення, розглянули способи їх доведення. Вам були запропоновані вправи і ви могли перевірити себе. Я тільки хочу вам нагадати, що при розв'язуванні завдань, задач, де є формули потрібно шукати різні способи, підходи. На все добре!