Построение сечений тетраэдра. Построение сечений параллелепипеда. Часть I. Построение сечений тетраэдра. Часть II. Построение сечений параллелепипеда. Часть I. Часть II год.

M K P Часть I. Построение сечений тетраэдра. Сечением тетраэдра плоскостью может быть: 1.Треугольник; M P N K D A В C A C B D 2.Четырехугольник.

M P N D C B A Решение. 1. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ADC по прямой MP. Задача 1. На рёбрах АD,BD,CD тетраэдра ABCD отмечены соответственно точки M, M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. 2. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани DBC по прямой NP. 3. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABD по прямой MN. 4. Треугольник MNP - искомое сечение. (просмотр)

M P N D C B A

D C B A M P N Точка М принадлежит ребру AD грани ADC, точка Р принадлежит ребру DC грани ADC, значит плоскость MNP пересекается с плоскостью ADC по прямой MP. Назад

Попробуй самостоятельно провести аналогичные рассуждения для прямой NP. Если затрудняешься, загляни в ссылку к пункту 1 этой задачи. M P N D C B A Назад

Наверное ты невнимательно разобрал решение предыдущего пункта этой задачи. Вернись!!! Прочитай еще раз. Назад

K P 5. Треугольник РМК - искомое сечение. Задача 2. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М,М, параллельно грани ADC. Решение. 1. Строим прямую MK параллельно прямой DC. 2. Строим прямую MP параллельно прямой AD. 3. Плоскость PMK пересекается с плоскостью грани АВС по прямой РКРК. 4. Плоскость РМК и плоскость грани АDC параллельны по признаку параллельности плоскостей. M B C A D

Вспомни признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Назад a b c d

Ты все еще затрудняешься? Вернись и внимательно прочитай решение задачи 1.

Задача 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, M, K и N, N, принадлежащих соответственно ребрам BD, AD, AC. 1. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани ADB по прямой MK. 2. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани ADC по прямой KN. 3. Точка N – общая точка плоскости MKN и плоскости грани ABC. Вторая их общая точка – F, точка пересечения прямых KM и AB. 4. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани АВС по прямой NP. 5. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани DВС по прямой MP. 6. Четырехугольник MKNP –искомое сечение (просмотр)просмотр) Решение. M F P N K C A D В

C A D В M F P N K

L P M N K N K P M N M P Часть II. Построение сечений параллелепипеда. Сечением параллелепипеда плоскостью может быть: 1.Треугольник. 2.Четырехугольник. 3.Пятиугольник. M P N Q R K 4. Шестиугольник.

Задача 4. Точки M, N и P лежат на рёбрах, выходящих из вершины В параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNP. Решение. 1. Плоскость MNP пересекает плоскость грани AA 1 B 1 B по прямой MN.прямой MN. 2. Плоскость MNP пересекает плоскость грани BB 1 C 1 C по прямой NP.прямой NP. 3. Плоскость MNP пересекает плоскость грани ABCD по прямой MP.прямой MP. 4. Треугольник NMP – - искомое сечение. (просмотр)(просмотр) P N M B C1C1 B1B1 A1A1 C A D1D1 D

B1B1 A1A1 N M C1C1 D1D1 C D A P B

N Задача 5. Точки M,N,P лежат соответственно на рёбрах A 1 B 1, B ! C 1 и BC параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNP. Решение. K P M 1. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани A 1 B 1 C 1 D 1 по прямой MN.прямой MN. 2. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани BB 1 C 1 C по прямой NP.прямой NP. 3. Строим прямую PK MN.PK MN. 4. Плоскость MNP пересекается с плоскостью грани AA 1 B 1 B по прямой KM.прямой KM. 5. Четырехугольник MNPK– – искомое сечение. (просмотр) D1D1 С DA B С1С1 B1B1 A1A1

С D B K P D1D1 M N B1B1 A1A1

Грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипеда параллельны. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Значит плоскость MNP пересекает грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 по параллельным прямым PK и MN.

Задача 6. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, K и N, лежащих соответственно на ребрах BB 1, AA 1 и СС Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани АА 1 В 1 В по прямой КМ. 2. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани ВВ 1 С 1 С по прямой МN. 3. Прямая КМ пересекается с прямой АВ (плоскости грани ABCD) в точке Е. 4. Прямая МN пересекается с прямой ВС (плоскости грани ABCD) в точке F. 5. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани АВCD по прямой EF, содержащей отрезок LP грани ABCD. L P M N F K E B D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 A D C Решение. 6. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани АА 1 D 1 D по прямой КL. 7. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани DD 1 C 1 C по прямой NP. 8. Пятиугольник KMNPL – искомое сечение. (просмотр) (просмотр)

L P M N F K E B D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 A D C

Задача 7. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, K и N, лежащих соответственно на ребрах B 1 С 1, AA 1 и СС 1. Решение. R L N P S K T Q M B D С A D1D1 A1A1 B1B1 С1С1 1. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани ВВ 1 С 1 С по прямой МN. 2. Прямая МN пересекается с прямой ВC (плоскости грани ABCD) в точке L и с прямой ВВ 1 (плоскости грани AА 1 B 1 В) в точке Т. 3. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани AА 1 B 1 В по прямой ТК, содержащей отрезок QK грани AА 1 B 1 В. 4. Прямая QK пересекается с прямой AВ (плоскости грани ABCD) в точке S. 5. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани АВCD по прямой SL, содержащей отрезок PR грани ABCD. 6. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани DD 1 С 1 С по прямой NR. 7. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани AA 1 D 1 D по прямой КР. 9. Шестиугольник MNRPKQ – искомое сечение. (просмотр) (просмотр) 8. Плоскость MKN пересекается с плоскостью грани A 1 B 1 C 1 D 1 по прямой QM.

R L N P S K T Q M B D С A D1D1 A1A1 B1B1 С1С1

Домашнее задание. Пункт (Признак параллельности плоскостей, подобие треугольников, отношение площадей подобных треугольников) 80 (смотрите задачу 79) 83 (признак параллельности плоскостей, теорема о прямой параллельной линии пересечения двух плоскостей) 87(б) (смотрите задачу 87(а))