Проектная творческая работа по математике: «Задачи на проценты, смеси и сплавы» ученицы 9 «А» класса Демидовой Анастасии. Научный руководитель: Барыбина М. Б. Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 15 г. Егорьевска Московской области учебный год.

Содержание: История процентов Проценты Задача с изменением цены Задача о вкладах Задачи на смеси и сплавы

Историческая справка. Проценты были известны еще вV в. до н.э. Все потому, что в Индии счет с давних пор велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симом Стевин. Он же в 1584 г. впервые опубликовал таблицы процентов. Со временем люди научились извлекать из в-в его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого в-ва. Тогда и ввели новую величину: «промилле» - тысячную часть, которую обозначали так:.

ПРОЦЕНТЫ. Процент – сотая часть. 1% = 1/100 = 0,01 Например, 7%=0,07 67%=0,67

Представьте данные десятичные дроби в процентах: Представьте проценты десятичними дробями: 0,5 = 0,867 = 1,3 = 0,0081 = 154 = 17 = 50% 86,7% 130% 0,81% 15400% 1700% 12,5% = 0,06% = 510% = 2% = 2,67% = 0, 125 0,0006 5,1 0,02 0,0267

Задача 1: Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена товара? Объясните ваш ответ.

Ответ: да. Вопрос: на сколько % повысилась или понизилась первоначальная цена?

Решение: Пусть S 0 – 100% первоначальная цена, тогда S – новая цена. Составим схему преобразований исходной цены S 0 : S0S0 S 0 (1-5×0,01) S 0 (1-5×0,01)(1+5×0,01) Стала после понижения Новая цена

S = S 0 (1-5×0,01)(1+5×0,01) S=S 0 (1-25×0,0001) S=S 0 (1-0,25×0,01) Отсюда, первоначальная цена понизилась на 0,25%. Ответ: понизилась на 0,25%.

Задача 2: Вкладчик положил в сбербанк под некоторый % 12 тыс. руб. Через год он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Еще через год на его счете оказалось 36 тыс. руб. Чему равен % годовых по этому вкладу?

Решение: Обозначим % годовых в банке за х%. Сумма на начало года ( тыс. руб.) Сумма на конец года (тыс. руб.) Изменения суммы (тыс. руб.) 1-й год 12 12(1+х 0,01) Снято со счета 0,5×12 х 0,01 2-й год 12(1+0,5 х×0,01)12(1+х 0,01)× ×(1+0,5 х 0,01)

По условию задачи в конце 2-ого года на счете вкладчика оказалось 36 тыс. руб. Таким образом, получаем уравнение 12(1+х×0,01)(1+0,5 х×0,01)=36 откуда х=-400, х=100. Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 100%.

Задача 3: Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Решение: 1. Пусть х кг пресной воды требуется добавить. 2. За чистое в-во примем соль. Тогда морская вода – это смесь с 5%-ним содержанием чистого в-ва, пресная вода – с 0%-ним содержанием чистого в-ва. 3. Переходя к долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05, доля соли в пресной воде равна 0, доля соли в смеси, которую нужно получить, - 0,015.

Исходя из третьей строки, составим уравнение m=аМ: 0,05 ×30= 0,015(30+х) х=70 Ответ: 70 кг. Состояние смеси т (кг) соли М (кг) смеси а – процентное содержание 1 0,05× , х х 0 3 0,05×30 30+х 0,015

Задача 4: Свежие грибы содержат 90% влаги, а сушеные – 12% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

Решение: Введем обозначения: ГМ – грибная масса, В – вода (влага). Процесс сушки грибов состоит в удалении из них большей части влаги. Пусть х кг масса сушеных грибов, тогда масса удаленной влаги будет равна (10-х). Составим необходимую для дальнейшего решения схему:

90% 100% 12% ГМВВ В 10 кг (10-х) кг х кг - = = Составим уравнение на основе подсчета масс влаги, учитывая, что она удаляется из грибов: 0,9×10 – (10 – х)=0,12 х х= 1,14

2-ой способ: Найдем процентное содержание грибной массы в свежих и в сушеных грибах и, учитывая, что она в результате сушки не изменилась, составим уравнение: 0,1×10=0,88 х 10%90% 100% 88%12% ГМВВ В 10 кг (10-х) кг х кг

Решив уравнение, найдем, что х=1,14. Ответ: 1,14 кг.

Литература: Научно-практический журнал «Математика для школьников» 2, 3. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» 4. Сборник элективных курсов «Математика» 2006 г.