Материал к уроку

В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л.Эйлер

0 y x1 2 3 Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки Х 0,что для всех Х Х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ) X=0 называют точкой максимума этой функции Точка Х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки Х 0,что для всех Х Х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0) X=2 называют точкой минимума этой функции

3 х 1 0 х В-8.7. Функция f(х) определена на отрезке [- 4; 4]. На рисунке изображен ее график. Найдите точку минимума этой функции на интервале (-3; 3). – 44 B

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции Если Х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f (x), то f'(x 0 ) = 0 y x 0 x0x0 x1x1 f (x 0 ) =0 f (x 1 ) =0 y=f(x)

Вывод : Точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать ТОЛЬКО среди корней уравнения f (x) =0, но не всегда корень этого уравнения является является точкой экстремума Точки в которых производная равна нулю называются СТАЦИОНАРНЫМИ Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются КРИТИЧЕСКИМИ Функция МОЖЕТ иметь экстремум только в критических точках. Однако наличие критических точек НЕ ГАРАНТИРУЕТ существование у нее экстремумов

Условие существования экстремума функции Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), х 0 є (a;b) и f '( х 0 )=0 или f '( х 0 )- не существует. Тогда : меняет + - точка максимума 1. Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) её производная меняет знак с « + » на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x). меняет -+ точка минимума 2. Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) её производная меняет знак с « - » на « + », то х 0 – точка минимума функции f(x). не меняет экстремума нет 3. Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) её производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

Экстремумы Нет экстремума maxmin Классификация экстремумов функции f '(x 0 )=0 f '(x 0 ) – не существует 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y x0x0 x0x0 x0x0 x0x0 x0x0 x0x0 точка перегиба

Определить вид критических точек y x0 y=f(x) x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x4x4x4x4 X1 -X1 -X1 -X1 - X2 -X2 -X2 -X2 - X3 -X3 -X3 -X3 - X4 -X4 -X4 -X4 - точка минимума точка перегиба точка максимума точка минимума Стационарные точки: x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 f '(x 1 )=0 f '(x 2 )=0 f '(x 3 )=0 f '(x 4 ) не существует

Исследование функции на экстремум f'>0 y x0 f'<0 max x x 0f 0f min x x существует не f существует не f f'>0 f(x) f / (x) x2x2x2x2 + – x1x1x1x1 + x3x3x3x3 x4x4x4x4 – + x y=f(x)

Схема исследования функции на экстремум Пусть дана функция f(x). 1. Найти область определения данной функции D(f). 2. Найти производную функции f'(x). 3. Найти точки, в которых выполняется равенство f'(х)=0. или производная не существует. 4. Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения. 5. Определить знак производной на каждом из промежутков. 6. Сделать вывод о наличии или отсутствии экстремумов.

3 915(1). Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: 0 2 +– + 3