Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 9. Компьютерная презентация по математике на тему «Закон больших чисел» ученика 10 класса «А» Семенкова Арсения Учитель: Стиплина Г.Н г.

Закон больших чисел - название собирательное. Так называют математические теоремы, которые при разных условиях утверждают, что среднее арифметическое, составленное из большого числа случайных слагаемых, мало отличается от математиче­ского ожидания этого среднего арифметического. Определение закона больших чисел

В качестве примера закона больших чисел приведем сле ­ дующее утверждение. Пусть Х 1,Х 2, Х 3,..., Х n - независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение, и пусть а - общее для всех них математическое ожидание. Тогда при достаточно больших п выполняется равенство х 1 +х 2 +х х п _______________ =а Это приближенное равенство тем точнее, чем больше п. Доказательство этого утверждения основано на свойствах математических ожиданий и дисперсий. Заметим, что одинаково распределенные случайные величины имеют не только общее ма­тематическое ожидание, но и общую дисперсию. Обозначим ее через b : D ( X 1 ) = D ( X 2 ) = D ( X 3 ) =... = D ( X n ) = b. п

По свойствам математического ожидания : х 1 +х 2 +х х п M ( ) _______________ п М(Х 1 ) + М(Х 2 ) М(Х п ) = п = па __ п = а D ( X 1 + X X n ) = п 2 п = D ( X 1 + D ( X 2 ) D ( X n ) п 2 По свойству дисперсии : = = hb 2 пп b__ = Мы видим, что при больших значениях п дисперсия среднего арифметического, которое тоже является случайной величиной, ма­ла, поэтому эта случайная величина не может сильно отличаться от своего математического ожидания, то есть от а. Чем меньше дис­персия, тем меньше случайный разброс около ожидаемого значения, то есть меньше вероятность большого отклонения от ожидаемого значения. Иными словами, чем больше п, тем меньше значения случайной величины _______________ х 1 +х 2 +х х п п отличаются от а.

Закон больших чисел позволяет нам вместо математического ожидания с большой точностью использовать средние значения, полученные в результате измерений и наблюдений. Нам неизвестно распределение большинства случайных ве­личин, которые встречаются в социологических исследованиях, измерениях, наблюдениях. Поскольку мы не знаем распределение, мы не можем знать и математическое ожидание, то есть ожидае­мое, наиболее правдоподобное значение этой случайной величины. Мы не знаем математическое ожидание, но зато можем его оценить. Если мы произвели достаточно много наблюдений случайной величины, то можем найти среднее арифметическое полученной выборки, то есть среднее выборочное.

Среднее выборочное используется как приближенное значение математического ожидания. Пример. Мы не знаем точно распределение, которому подчи ­ няется размер горошин. Поэтому мы не знаем ожидаемый размер средней горошины. Но мы можем произвести много измерений и найти среднее арифметическое. Возьмем 1000 горошин какого - то определенного сорта, выращенного в определенных условиях. Измерим диаметр каждой горошины с точностью до 0,25 мм и резуль ­ таты занесем в таблицу : Диаметр горошины, мм 5,566,57 7,5 8 8,5 Число горошин Среднее арифметическое равно 5,5 * 17+6 * 91+6,5*238+7*310+7,5*228+8*100+8,5* _________________________________________________________________ = 7,0025 (мм).

Полученное среднее значение является оценкой математиче­ского ожидания случайной величины «диаметр горошины». При этом мы знаем, что чем больше измерений сделано, тем меньше дисперсия среднего арифметического, а значит, тем больше точность наших выводов. Иными словами, закон больших чисел дает нам уверенность в том, что диаметр 7,0025 мм очень близок к среднему диаметру всех горошин этого сорта, выращенных в сходных условиях. КОНЕЦ