ВОЗРАСТАНИЕ ФУНКЦИЙ Функция называется возрастающей на интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции, то есть:

УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ Функция называется убывающей на интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции, то есть:

Точка называется критической точкой (или критической точкой первого рода) функции, если производная в этой точке равна нулю или не существует.

Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на « - », то эта точка является точкой максимума функции. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с « - » на «+», то эта точка является точкой минимума функции. Если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то эта точка является точкой перегиба кривой.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции необходимо: 1. Найти производную f'(x), затем найти все значения х, при которых f'(x)=0, то есть критические точки. 2. Обозначить на числовой оси точки разрыва и критические точки, тогда область определения функции будет разбита на несколько интервалов. 3. В каждом интервале выбрать произвольное значение х и найти знак f'(x) в выбранной точке. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то убывает. Схема исследования функции на локальный экстремум 1. Найти производную. 2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует или равна нулю. 3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции. 4. Найти экстремумы функции.

Исследование на монотонность и наличие точек экстремума. х

Кривая называется выпуклой на интервале, если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже любой её касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале, если все её точки, кроме точки касания, лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Точка кривой называется точкой перегиба, если она отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Если вторая производная функции в точке равна нулю или не существует, то это критическая точка второго рода

1. Найти вторую производную функции. 2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует или равна нулю. 3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. 4. Найти значения функции в точках перегиба.

Исследование на направление выпуклостей и наличие точек перегиба. х

y x эскиз

Уравнение касательной: Уравнение нормали:

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов и равен бесконечности.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции, если и существуют пределы и.

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции, если.

1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на чётность – нечётность. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти вертикальные асимптоты. 5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. 6. Найти критические точки. 7. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 8. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 9. Построить график функции.

Исследовать функцию и построить её график 2. Функция нечётная, график симметричен относительно начала отсчёта. 3. Точки пересечения с осями: с Оу: (0; 0); с Ох: (0; 0). 4. Промежутки знакопостоянства функции: х

Вертикальные асимптоты: так как y x -22 эскиз

Наклонные асимптоты x y эскиз

y x