ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Геометрический смысл производной

Задача 1.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х 0. Значение производной функции f(x) в точке х 0 равно tga угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника это отношение противолежащего катета к прилежащему. Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна нулю). Решение. АС Ответ: 3. Теоретические сведения.

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у Решение: O у =f(x) 1 способ 3 х 1 0 х В 8 5 0, 2 1 острый положительно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 положительно. 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Можно найти несколько удобных треугольников, например,…. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3: tga = 4). Переведем дробь в десятичную запись: 4 1

В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. 2 способ Решение: у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b х х 0 х 0 у O у =f(x) 2 способ 3 х 1 0 х В 8 5 0, tga = Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. (-5; 2) (7; 5) 2 = –5k + b. 5 = 7k + b. – 3 = – 12k– :12k =k = k = 3

8 2 На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у тупой отрицательно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой. Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно. Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подойдет. Можно найти несколько удобных треугольников с целочисленными катетами, например,…. O у =f(x) способ 1 Еще удобный треугольник… 2 8 tga = 3). Найдем тангенс угла – это отношение 4:1. Тангенс тупого, смежного угла равен – 4. 3 х 1 0 х В 8 - 4

В данных заданиях всегда есть удобные точки. Этим можно воспользоваться. х х 0 х 0 у O у =f(x) способ 3 х 1 0 х В Решение: у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой. (-1; -3) (0; -7) – 7 = b. – 3 = – 1 k + b. – 4 = k k = – 4– Систему можешь решить и своим способом.

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у тупой отрицательно 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно. Решение: 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например,…. O у =f(x) 1 1 способ 8 2 tga = 3). Найдем тангенс угла – это отношение 1:4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0,25. 3 х 1 0 х В , 1 28

На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х 0. х х 0 х 0 у Решение: O у =f(x) 1 2 способ 3 х 1 0 х В , Решать подобные задания можно другим способом. у = kx + b Уравнение прямой у = kx + b. k В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f / (x o )=k k=tgα у = kх + b Подставим координаты известных точек в уравнение прямой. (-2; -1) (6; -3) – 1 = – 2k + b. – 3 = 6k + b. – 2 = 8k– k = 4 1 – : 8

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! Верно! Подумай ! х 0 х 0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 4 : 4 =1 Проверка

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х ,5 2 0,5 Подумай! Верно! Подумай ! х 0 х 0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2 Проверка

Самостоятельно решить из сборника 1872 – двумя способами: по треугольнику и уравнением прямой, проходящей через две точки. Любым способом решить 1873, 1864, 1865, 1868, Проверить полученные ответы.

Задача 2.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f'(4). Решение. Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно: Ответ: 1,5. 6 4

Задача 2.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х 0, проходит через начало координат. Найдите f'(х 0 ). х 0 = 2 х 0 = - 4 х 0 = Решите самостоятельно! Ответ: 2. Ответ: 0,5. Ответ: - 0,5. Ответ: 0,75.

Задача 3.1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5 или совпадает с ней. Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2. Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5. Решение. y = 2 Ответ: 5.

Задача 3.2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x + 7 или совпадает с ней. 1 Решение. Ответ: 3. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = - 2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2. Найдем количество точек, в которых f´(x)= -2. Решение. Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2. Ответ: 4. y = -2 2

Задача 3.3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x 1 ; x 2 ). 3 Решение. Ответ: 3. Найдем количество точек, в которых f´(x)= 2. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x +10 или совпадает с ней. y = -3 Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -3x+8 или совпадает с ней. Решение. Ответ: 3. Найдем количество точек, в которых f´(x)= -3. y = 2 4

Производная функции в точке х 0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х 0, горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Задача 4.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Теоретические сведения. Решение. если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const. Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной. Ответ: 7.

Задача 4.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Решите устно! Ответ: 7. Ответ: 8. Ответ:

Задача 5.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 8. Решение. Прямая у = 8 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Ответ: 5.

Задача 5.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с Решите устно! Ответ: 4. Ответ: 9. Ответ: 8. Ответ: 9.

Самостоятельно решить из сборника 1803, 1805, 1810, 1814 в тетрадь записывая только ответы. Проверить полученные ответы.