Обчислення обємів просторових тіл з допомогою інтеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

I. Обєм прямокутного паралелепіпеда з висотою H і площею основи S. x H x [0;H] 0 Площа перерізу не змінюється в любій точці відрізка від 0 до H і рівна площі основи. x

II. Обєм прямої призми з висотою H і площею основи S. x x [0;H] H 0 Площа перерізу не змінюється в любій точці відрізка від 0 до H і рівна площі основи. x

III. Обєм n-кутної прямої призми з висотою H і площею основи S. x x [0;H] H 0 Площа перерізу не змінюється в любій точці відрізка від 0 до H і рівна площі основи. x

IV. Обєм похилої призми з висотою H і площею основи S. Площа перерізу, перпендикулярного висоті, не змінюється в любій точці відрізка від 0 до H і рівна площі основи. x H x [0;H] 0 x

V. Обєм трикутної піраміди з висотою H і площею основи S. H x x [0;H] x Площа перерізу змінюється в залежності від відстані x, причому відношення площі основи до площі перерізу рівне квадрату коефіцієнта подібності відповідних трикутників, тобто: 0

VI. Обєм n-кутної піраміди з высотою H і площею основи S. H x Площа перерізу змінюється в залежності від відстані x, причому відношення площі основи до площі перерізу рівне квадрату коефіцієнта подібності відповідних n- кутників, тобто: x x [0;H] 0

VII. Обєм циліндра з висотою H і площею основи S. x x [0;H] H 0 x Площа перерізу не змінюється в любій точці відрізка від 0 до H і рівна площі основи.

VIII. Обєм конуса з висотою H і площею основи S. x x [0;H] H x Площа перерізу змінюється в залежності від відстані x, причому відношення площі основи до площі перерізу рівне квадрату коефіцієнта подібності відповідних кругів, тобто: 0

I X. Обєм кулі з радіусом R. Знайдемо обєм півкулі, як нескінченну інтегральну суму площ перерізів з радіусом r, де: R x Значить, обєм всієї кулі рівний: x 0 r

X. Обєм кульового сегмента. Виведення формули обєму кульового сегмента з висотою h і радіусом основи r відрізняється від виведення обєму півкулі нижньою границею інтегрування. В даному випадку вона рівна R – h : r R h x h r Зверніть увагу, що в формулі обєму кульового сегмента використовується радіус кулі ( R ), а не радіус основи сегмента ( r )!