ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3

Определяем свойства ПРОИЗВОДНОЙ по графику ФУНКЦИИ

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) Задача 1.1 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. y = f (x) y x ). f / (x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение:

3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках касательная параллельна оси Ох) В точке х=1 производная не существует Задача 1.2 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. y = f (x) y x ). f / (x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. Ответ: 8. Решение: Решить 1944, 1947

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале ( a;b ). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решите самостоятельно! a)б)б) Решение., если убывает. Целые решения при : х=2; х=7; х=8. Их количество равно 3. Целые решения при : х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10. Их количество равно 6. Ответ: 3. Ответ: 6.

Производная функции в точке х 0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х 0, горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Задача 1.3. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Теоретические сведения. Решение. если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const. Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной. Ответ: 7.

Задача 4.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Решите устно! Ответ: 7. Ответ: 8. Ответ:

Отвечаем на вопросы по графику ПРОИЗВОДНОЙ

f(x) f / (x) x Задача 2.1 На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) y x Найдем точки, в которых f / (x)=0 (это нули функции). + –– + +

f(x) f / (x) x По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. y = f / (x) y x ––++ Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 4 точки экстремума, Ответ: 2 точки минимума

f(x) f / (x) x Задача 2.2 y = f / (x) y x + ––++ Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1] Ответ: x max = –

f(x) f / (x) x Задача 2.3 y = f / (x) y x + ––++ Найдите количество точек экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 3; 7] Ответ:

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) y x -5 +

х В. На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке [-5;5]. Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите наибольшую точку максимума Не верно! Верно! Не верно! y = f / (x) f / (x) f(x) Из двух точек максимума наибольшая х max = 3

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 6; 7). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) 3 + – y = f / (x) y x – +

f(x) f / (x) x Задача 2.4 y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем Ответ: (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

f(x) f / (x) x Задача 2.5 y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В точках –5, 0, 3 и 6 функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем Сложим целые числа: -7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8) Ответ: 1

f(x) f / (x) x Задача 2.6 y = f / (x) y x + ––++ Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них Ответ:

y = f / (x) Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – Верно! Проверка (2) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) y x + 1

y = f / (x) Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – Верно! Проверка (2) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2

Решить 1742, 1744, 1745, 1777, 1778, 1858