ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ Алгебра

Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак возрастания функции: Если f / (х)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.

Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак убывания функции: Если f / (х)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) убывает.

Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак максимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)>0 на интервале (a;х 0 ) и f / (х)<0 на интервале (х 0 ;b ), то x 0 является точкой максимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума.

Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак минимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)<0 на интервале (a;х 0 ) и f / (х)>0 на интервале (х 0 ;b ), то x 0 является точкой минимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка максимума.

Справочный материал Наибольшее, наименьшее значения функции. Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b).

Справочный материал Касательная к графику функции f / (x 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси ОХ. K = tg a = f / (x 0 ) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0 : у=f(x 0 )+ f / (x 0 )(х-х 0 )

Применение производной для исследования функции на монотонность справка

Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 104 изображен ее график. Укажите число промежутков, на которых отрицательна функция у = f'(х). 4

Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 105 изображен график её производной. Укажите число промежутков, на которых функция у = f ' (x) положительна. 3

Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 7). На рисунке 112 изображён график её производной. Найдите максимальную длину промежутка, на котором f(x) постоянна. 2

На рисунке 113 изображен график производной функции у = f(x). Укажите число промежутков возрастания функции у = f(x). 3

На рисунке 114 изображен график производной функции у = f(x). Укажите количество промежутков убывания функции у = f(х). 2

Применение производной для исследования функции на экстремумы справка

Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 110 изображен график её производной. Найдите количество точек максимума функции у =f(x). 5

Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 111 изображен график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f(x). 3

Функция у =f(х) определена на промежутке (а; b). Ее производной является функция у = f'(x), a на рисунке 84 изображен график функции у = f'(x) + 2. Укажите число точек максимума функции у = f(x) на промежутке (а; b). 3

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений. справка

Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-7; 6]. На рисунке 101 изображен график ее производной. Определите точку оси Ох, в которой функция у =f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [-7; 6]. -3

Касательная к графику функции справка

Функция f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке 103 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 4

Функция f(x) определена на промежутке (а;Ь). На рисунке 102 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 6

На рисунке 74 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x)). Найдите значение производной у = f'(x) в точке x 0. 1,5

На рисунке 75 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (x 0 ; f(x 0 )). Найдите значение производной у = f'(x) в точке х ,6

На рисунке 76 изображена прямая, являющаяся касательной к графику четной функции у = f(x) в точке (х 0 ;f(x 0 )). Найдите значение производной у = f(x) в точке - x 0. -0,4

На рисунке 77 изображена прямая, являющаяся касательной к графику нечетной функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 ))- Найдите значение производной у=f / (x) в точке - х ,2

На рисунке 82 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество положительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 1

На рисунке 83 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество неположительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 4

Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 5). На рисунке 6 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс. 3

Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 6). На рис. 9 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые наклонены под углом 27° к положительному направлению оси абсцисс. 4

Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 6). На рис. 12 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 53° к положительному направлению оси абсцисс. 2

Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 15 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший 45°. 4

Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 18 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший - 45°. 6

Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 4). На рисунке 21 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(х), которые наклонены под острым углом к положительному направлению оси абсцисс, если синус этого угла равен 3/5. 5

Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 4). На рисунке 39 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у =f(х), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 3

Функция у = f(x) определена на промежутке (7; 3). На рисунке 48 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(x), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 4

Производная и её график. Комбинированные задачи.

На рисунке 117 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для строго возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 3

На рисунке 118 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для убывающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 1

На рисунке 119 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 4

Функция у f(x) определена на промежутке (5; 6). График ее производной изображен на рисунке 120. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(x) представляет собой константу. 3

Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 6). График ее производной изображен на рисунке 121. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(х) представляет собой линейную функцию. 5