Свойства функции

Определение 1 Функцию у=f(x) называют возрастающей на множестве Х D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х, таких что х 1 < х 2 выполняется неравенство f(х 1 ) < f(х 2 )

Определение 2 Функцию у=f(x) называют убывающей на множестве Х D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х, таких что х 1 f(х 2 )

Определение 3 Функция у=f(x) называется ограниченной снизу на множестве Х D(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. Иными словами, если существует такое число m, что для любого значения х Х выполняется неравенство f(x)>m

Определение 4 Функция у=f(x) называется ограниченной сверху на множестве Х D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. Иными словами, если существует такое число М, что для любого значения х Х выполняется неравенство f(x)<M

Определение 5 Число m называют наименьшим значением функции у=f(x) на множестве Х D(f), если: 1) Во множестве Х существует такая точка х 0, что f(x 0 )= m; 2) Для любого значения х из множества Х выполняется неравенство: f(x) f(x 0 ). Наименьшее значение функции обозначают: у наим.

Определение 6 Число М называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве Х D(f), если: 1) Во множестве Х существует такая точка х 0, что f(x 0 )= М; 2) Для любого значения х из множества Х выполняется неравенство: f(x) f(x 0 ). Наибольшее значение функции обозначают: У наиб.

Определение 7 Точку х 0 называют точкой максимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность для всех точек которой (кроме самой точки х 0 ) выполняется неравенство f(x)<f(х 0 ). Точку х 0 называют точкой минимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность для всех точек которой (кроме самой точки х 0 ) выполняется неравенство f(x)>f(х 0 ).

Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума Обозначения: х макс, х мин

Определение Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х D(f), если, соединив любые две точки её графика отрезком, мы обнаруживаем, что соответствующая часть графика лежит ниже проведённого отрезка.

Определение Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х D(f), если, соединив любые две точки её графика отрезком, мы обнаруживаем, что соответствующая часть графика лежит выше проведённого отрезка.

Определение 8 Функция y=f(x), x X называется чётной, если для любого х из множества Х выполняется равенство: f(-x)=f(x) График чётной функции симметричен относительно оси ординат

Определение 9 Функция y=f(x), x X называется нечётной, если для любого х из множества Х выполняется равенство: f(-x)= -f(x) График нечётной функции симметричен относительно начала координат

Если функция чётная или нечётная, то её область определения симметричное множество. Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными.

Алгоритм исследования функции на чётность 1. Проверить симметрична ли область определения. 2. Составить выражение y=f(-x) 3. Сравнить f(-x) b f(x) 4. Cделать вывод.