D H P T K E Черкаська приватна загальноосвітня школа Софія вчитель математики Ратушна Аліна Валеріївна

Усім нам часто доводиться мати справу з предметами однакової форми, але різних розмірів. Наприклад: зменшена модель автомобіля схожа на справжній автомобіль. Але їх розміри відповідно пропорційні.

У геометрії знак подібності використовується часто і позначається Трикутник АВС подібний трикутнику КРТ А В С К РТ

Подібні трикутники А C В b a c А1А1 С1С1 В1В1 2b 2a 2c Число, якому дорівнює відношення відповідних сторін подібних трикутників, називається коефіцієнтом подібності (позначають k) ΔАВС ~ ΔА 1 В 1 С 1

Щоб скласти відношення відповідних сторін подібних трикутників, потрібно: визначити відповідно рівні кути трикутника; з'ясувати, які сторони є відповідними; записати рівність трьох дробів, у чисельниках яких – сторони одного з трикутників, а у знаменниках – відповідні сторони іншого А С В А1А1 С1С1 В1В1 Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню їх відповідних сторін.

ФАЛЕС МІЛЕТСЬКИЙ (кін. 624 – кін. 546 до н. е.) «Блаженство тіла – в здоровї, блаженство розуму – в знаннях»

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки. Пряма, паралельна будь-якій стороні трикутника, відтинає від нього подібний трикутник. АВ М N С

довести рівність кутів даних трикутників; довести пропорційність відповідних сторін даних трикутників. А1А1 В1В1 А С В С1С1

Теорема ( ознака подібності трикутників за двома кутами). Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники – подібні. А1А1 В1В1 С1С1 А В С

Рівносторонні трикутники подібні. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту: при основі; при вершині. Прямокутні трикутники з рівним гострим кутом є подібними. Рівнобедрені прямокутні трикутники – подібні.

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. А В С Р М W D F E 30 0 А В С

Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. С А В В А С 30 0 М 40 0 Р N A1A1 C1C1 B1B1 30 0

P T K ZX Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. А М В N С

A D C E B Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання Розглянемо,, отже - як внутрішні різносторонні, - рівнобедрений. і мають рівні кути, отже вони подібні

O – центр кола А С В О Е Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання і - подібні, за першою ознакою подібності трикутників як кут, що спирається на діаметр кола, - спільний

О АВ - дотична А К В С D Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання за двома кутами. - як кут, що спирається на діаметр кола., тому що (як дотична до діаметра) - за умовою

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники – подібні. А1А1 В1В1 А С В С1С1 Теорема

B 40 0 A C 7cм 8см 40 0 К Е F 4см3,5см 40 0 P Q R 3 см 40 0 A C 5 cм5 cм 5 см B Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.

40 0 A B C 7cм8см 40 0 К Е F 4см3,5см D E F 3cм A B C 5 cм Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.

92 см115 см В А С 60 0 Доведіть подібність трикутників Р 4 см5 см RS 30 0 Розв'язання - за другою ознакою подібності трикутників (за двома пропорційними сторонами і кутом між ними) і

А 12 м С М N B 3 м Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже Відповідь: см см Дано: см, м Знайти:

А 10 дм С М N B 2 дм Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже,, дм Відповідь: дм Дано: дм, дм, дм Знайти:

Теорема В1В1 Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні. А1А1 А С В С1С1

В М 3 см А 4 см 1 см С 5 N Дано: см, см, см Знайти: Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже,, см,, см Відповідь: см, см.

A C B D E F Дано: - паралелограм, см Знайти: Розв'язання - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - як вертикальні кути. - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - як протилежні кути паралелограма. Отже - за першою ознакою подібності трикутників (за двома рівними кутами),, см Відповідь: см

A C F В D N Дано: - паралелограм, см Знайти: Розв'язання - як кути паралелограма. Отже за першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами). Оскільки см, то см. Нехай, тоді. Запишемо відношення відповідних сторін подібних трикутників,, см Відповідь: см

Довжина тіні фабричної труби дорівнює 35,8 м. У той самий час вертикально поставлена жердина завдовжки 1,9 м дає тінь довжиною 1,62 м. Знайдіть висоту труби. 1,62 м 1,9 м 35,8 м А В С К М Розв'язання Розглянемо та, -спільний.. Отже - за першою ознакою рівності трикутників (два рівні кути).,, м Відповідь: м

Масштаб 1:200 Визначити висоту і ширину будівлі за даними малюнка. Розв'язання Оскільки масштаб взято 1 см до 200 см, тому висота будівлі: см, або 8м. Ширина будівлі становить см, або 6 м. Відповідь: 8 м, 6 м.

Що можна сказати про прямі Розв'язання за теоремою, Фалеса тому що вони відтинають пропорційні відрізки на сторонах кута, і не паралельні прямій тому, що

Довжина яхти 8 м; висота щогла – 12 м. Хлопчик робить модель яхти довжиною 40 см. Якої висоти щоглу йому потрібно зробити? Розв'язання 8 м= 800 см, роблячи довжину яхти 40 см, хлопчик зменшує її у 800:40=20 раз. Отже висоту щогла потрібно зменшити також у 20 раз. 12 м= 1200 см. 1200: 20=60 см Відповідь: 60 см висота щогла

Макет літака має довжину 25 см і розмах крил 30 см. Яка довжина оригіналу, якщо розмах його крил дорівнює 18 м? Розв'язання Розмах крил літака 18 м, або 1800 см. Якщо розмах крил макета 30 см, отже його зменшили у 1800:30=60 раз. Отже довжина оригінала становить см, або 15 м. Відповідь: 15 м довжина літака.

Діаметр глобуса дорівнює 40 см; діаметр Землі – км. Визначте відстань від Києва до Москви, якщо на глобусі ці міста розділені відстанню 10 см. Розв'язання Визначимо у скільки раз модель глобуса менша за Землю км = см : 40 = Отже відстань від Новосибірська до Москви буде у стільки раз більша ніж на глобусі І дорівнює см = км Відповідь: відстань від Києва до Москви км.

Радіолокаційний пост спостереження знаходиться в 20 км від гори, висота якої 3 км. З-за гори на висоті 9 км летить літак. На якій відстані по горизонталі він буде помічений? Розв'язання Складемо математичну модель задачі: АМ – відстань від гори до посту, КМ – висота гори; СВ – висота польоту літака; Запишемо дано. Дано: км, км, км Знайти: (як прямокутні трикутники, що мають спільний гострий кут). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника км. Відповідь: літак буде помічений на відстані 60 км В АС К М

Визначається висота телевізійної вишки на відстані 360 м. в землю вкопується жердина висотою 2 м. Потім спостерігач відходить від жердини і стає так, щоб вершини вишки і жердини стали в одному полі зору. Довелось відійти на 1 м. Яка висота вишки? А В С S L Складемо математичну модель задачі: BC – висота вишки; SL – висота жердини; LC – відстань від вишки до жердини; LА – відстань від жердини до спостерігача; Дано: м, м, м, Знайти: Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса,, м. Відповідь: 722 м

На якій відстані від спостерігача знаходиться заводська труба висотою 150 м, якщо монета 15 мм знаходиться на відстані витягнутої руки (60 см), заслоняє цю трубу повністю. Складемо математичну модель задачі ВС – висота заводської труби; КМ – діаметр монети; АМ – відстань від очей до монети АС – відстань від спостерігача до труби Дано: м, мм, см. Знайти: Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса,, м, км Відповідь: заводська труба знаходиться на відстані 6 км А В С К М

Чоловік зростом 180 см (на рівні очей) визначає ширину річки. Він втикає на її березі жердину висотою 170 см. І відходить від неї до того часу поки її вершина і протилежний берег річки, не будуть в одному полі зору. Відійти йому довелось на 10 м. Яка ширина річки? Складемо математичну модель задачі ВС – висота людини; КМ – висота жердини; СМ – відстань від людини до жердини; МА – ширина річки. Дано:ВС=180 см, КМ=170 см, СМ=10 м Знайти: АМ Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса Нехай, тоді,, см, м. Відповідь: ширина річки 17 м С В А К М

Хлопчик визначає висоту дерева. З цією ціллю він відходить від дерева на відстань 15 метрів і втикає жердину висотою 2 м. Потім лягає на землю так, щоб вершини жердини і дерева були в одному полі зору. Відстань від його голови до жердини 3 м. Яка висота дерева? Складемо математичну модель задачі ; КМ – висота жердини; МА – відстань до жердини; СА – відстань від хлопчика до дерева; ВС – висота дерева. Дано: КМ=2 м, СА=15 м, МА= 3 м Знайти: ВС Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса, м Відповідь: висота дерева 10 м С В А К М

А С 12 см 2 см 3 см 4 см В М N Дано: Знайти: Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса. Запишемо відношення відповідних сторін:,, см.,, см. Відповідь: 1 см, 1,5 см

AC B D E F Дано:, – паралелограм, см см Знайти: Розв'язання. Розглянемо трикутники - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - спільний. Отже - за двома кутами. Запишемо відношення відповідних сторін подібних трикутників. За умовою задачі,..,,. см, см. Відповідь: 10 см, 12 см

A C B D O F Дано: – хорди, = 8см, Знайти: Розв'язання Розглянемо трикутники і. - як вертикальні кути; - як кути, що спираються на одну дугу. Отже - за двома кутами. Запишемо відношення відповідних сторін трикутників Нехай см, тоді см см, см. Відповідь: 12 см, 4 см.

см А М В N С 4 см 5 см 12 см Дано: Знайти: Розв'язання - за двома кутами, ( - спільний, - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника, см Відповідь: см

Дано: Знайти: С А В М N 10 см 4 см 5 см см Розв'язання - за двома кутами, ( - спільний, - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника,, см Відповідь: см