Треугольник Паскаля.

Определение: Треугольник Паскаля арифметический треугольник, образованный биноминальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

История треугольника. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Свойства треугольника Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятностей обладает занимательными свойствами.

Свойства треугольника Паскаля. Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси. первое и последнее числа равны 1. второе и предпоследнее числа равны n. третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк. четвёртое число является тетраэдрическим. Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи. Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n. Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные в белый, то образуется треугольник Серпинского. Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом. Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Треугольники Паскаля и Яна Хуэя.

Знаменитый американский учёный Мартин Гарднер сказал: «треугольник Паскаля так прост, что выписать его может и десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Вопросы. 1. В какой стране появилось первое упоминание о треугольнике? 2. Можно ли продолжать треугольник бесконечно? 3. В каком году Паскаль издал книгу о треугольнике? 4. Кто по мнению китайцев изобрёл треугольник?