Проценты в жизни и математике. Работу выполнили ученицы 6 «Э» класса МОУ «СОШ 54»: Аргутина Екатерина, Исаева Наталия. Исаева Наталия.

Цель работы: - изучение практического применения процентных расчетов. Задачи: 1) Определить понятие «процент». 2) Изучить историю происхождения процента. 3) Определить сферу практического применения процента. 4) Решить простейшие задачи на проценты и задачи на банковские операции. 5) Сделать вывод.

Введение Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Мы стали присматриваться к объявлениям на улицах, в магазинах, прислушиваться к новостям по телевидению. Мы даже не могли себе представить - насколько тесно наша жизнь связана с этим математическим понятием. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 57% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции составляет 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира и т.д. Изучают проценты на уроках математики в школе. Задачи на проценты встречаются в заданиях на ГИА в 9 классе и в КИМах ЕГЭ по математике в 11 классе. В своей работе мы решили рассказать об истории возникновения процентов, основных типах задач на проценты, показать, что такие задачи часто приходится решать в обычной жизни.

Понятие «процента». Процент – это сотая часть любой величины: пути, массы, площади, количества объёма… Есть специальная запись (символ, обозначение) слова «процент» - %. С помощью процентов можно выразить отношение между двумя величинами: частью и целым. Например, можно узнать в процентах количество выполненной работы, пройденного пути, почитанных страниц книги, сахара в варенье, соли в морской воде. Удобно то, что мы имеем дело не с дробями, а с целыми числами, хотя речь идёт о той же величине. Чтобы количество процентов выразить в виде десятичной дроби, надо это число разделить на 100 или умножить на 0,01. Например: 125%= 125:100=1,25 или 125%=125 * 0,01= 1,25 Чтобы записать дробь в виде процентов, надо умножить её на 100%. Например, 0,7 = 0,7 * 100% = 70%, 0,45 = 0,45 * 100% = 45% Итак, даем определение процента: 1 % от числа а есть 1/100 числа а; р % от числа а есть р/100 числа а. Отсюда следует, что р % от числа а равно а * р/100.

История происхождения процентов. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Сотая часть метра – сантиметр 1/100 м Сотая часть центнера – килограмм 1/100 ц Сотая часть рубля – копейка 1/100 руб Поэтому для них было придумано специальное название процент и обозначение %.

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях вызванная практическими соображениями, родилась еще в древнем Вавилоне. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией.

История происхождения процентов Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег.

Как возник знак « % »? От римлян проценты перешли к другим народам. Само слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает в переводе «сотая доля»,«за сотню» или «со ста». В рукописях pro centum заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно – cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Существует ещё одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах. Наборщик принял «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. В наше время процент- это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Основные задачи на проценты. Задачи на проценты Нахождение процента от числа. Нахождение числа по проценту. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Нахождение процента от числа. Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. b=ар/100 Например. 20% от 45 кг пшеницы равны 45·0,2=9 кг.

Нахождение числа по его проценту. Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. a=b:р/100 Например. Если 8% от длины бруска составляют 2,4 см, то длина всего бруска равна 2,4:0,08=30 см

Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%. p=a/b*100% Например. 9 г соли в растворе массой 180 г составляют 9:180·100%= 5%.

Типовые задачи. Задачи на проценты можно решать по действиям, с помощью составления пропорции, с помощью составления уравнения. Кроме простых задач есть задачи на так называемые сложные проценты или проценты на проценты. Умение решать задачи на проценты необходимо для повседневной жизни. Рассмотрим решение некоторых из них.

Задача Квартплата составляла 2000 рублей. Какой стала квартплата после её увеличения на 20%? Решение. 1 способ: 2000:100·120=2400(р.) 2 способ: 120%=1,2 2000·1,2=2400(р.) 3 способ: 2000 рублей составляют 100% х рублей составляют 120% Ответ: 2400 рублей

Задача Абонентская плата за телефон составляет 250 руб. Оплата производится до 15 числа каждого месяца, после чего начисляется штраф 4% ежедневно от абонентской платы. Сколько придется заплатить, если вы просрочили неделю? Решение. 1) ,04 = 10 руб. – ежедневный штраф. 2) = 70 руб. – штраф за неделю. 3) = 320 руб. – заплатили. Ответ: 320 руб.

Задача Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена на 10%, а затем ещё на 20%.Какова окончательная стоимость товара? Решение. 1 способ: 1) ·0,1=900(р) 2) ·0,2=720(р) 2 способ: 1) =90(%) 2) 90-90·0,2=72(%) 3) 1000·0,72=720(р) Ответ : 720 рублей

Задача На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 руб. уценили на 40 %, а через неделю еще на 5%. В другом магазине, шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф? Решение. 1) ,6 = 210 руб. – после первого снижения. 2) ,95 = 199,5 руб. – после второго снижения. 3) ,55 = 192,5 руб. – во втором магазине. Ответ: во втором магазине.

Задача В растворе содержится 15 г. сахара, 20 г. соли и 165 г. воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе. Решение. 1)20:( )*100%=10%- процентное содержание соли в растворе. 2) 15:( )*100%=7,5%- процентное содержание сахара в растворе. Ответ. 10%, 7,5%.

Задача Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды? Решение. Пусть Х количество тонн металла, выплавленного из 24 тонн руды. В нём содержится 4% примесей и 96% чистого металла. Поэтому чистого металла будет выплавлено 0,96Х тонн, что по условию составляет 60% от 24 тонн руды. Получаем уравнение: 0,96Х=0,6·24 Х=15 Ответ: 15 тонн

Задача Осенью в городе проходили выборы в органы власти. В выборах приняли участие 60 % всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в выборах, если в городе около жителей, а право голоса имеют 80% от всех жителей. Решение. 1) 0,8*60 000=48 000(ч) имели право голоса. 2) 0,6*48 000=28800(ч) пришли на голосование. Ответ: человек пришли на голосование.

Задачи на ГИА по математике в 9 классе. 1. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре рублей с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 3 до 10 человек- 5%; более 10 человек- 8%» Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 12 человек? Решение. 1) 3000* 0,08=240 (р.)-составляют 8% от 3000 р. 2) =2760(р.)- должна заплатить организация. 2. Из 68 деревьев парка 30 берез. Сколько примерно процентов берез в парке? Решение. 30:68* 100=44,1… Ответ: 44%.

Задачи на ЕГЭ по математике в 11 классе 1. Порция пломбира стоит 50 рублей. Какое наибольшее число таких порций можно купить на 500 рублей после повышения цены на 10%? Решение. 1) 50+50*0,1=55(р)- новая цена. 2)500:55=9,09… Ответ: 9 порций. 2. Рубашка стоила 1000 рублей. После снижения цены она стала стоить 780 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку? Решение. 1)780:1000*100=78(%.)- составляют 780 рублей. 2) 100%-78%=22% Ответ: 22%.

Проценты в банковских операциях. Сегодня оперирование процентами при всевозможных банковских операциях, а также с подавляющим большинством экономических категорий, является неизбежным. Для того, чтобы лучше разобраться с «банковскими процентами», мы изучили некоторые понятия, связанные с экономикой. Бюджет – перечень доходов и расходов, финансовый план, сопоставляющий ожидаемые доходы и расходы. Дефицит (от лат. dificit – недостаток) – превышение расходов над доходами. Убыток может относиться как к денежным ресурсам, так и к материальным ценностям Инфляция – падение ценности или покупательной способности денег. Налоги – обязательные платежи, взимаемые государством с граждан. Налоги – один из источников дохода государственного бюджета. Процентная ставка.

Простая Вкладчик положил в банк руб. Банк выплачивает 9% годовых. То через год у него будет * (1+0,09)= руб. А через 2 года: * (1+0,09*2)= руб. Сложная Вкладчик положил в банк руб. Банк выплачивает 9% годовых. То через год у него будет * (1+0,09)= рублей. А через 2 года * (1+0,09) 2 = руб

Формула расчета простых процентов Sp = [P * I * t : K] : 100, где I - годовая процентная ставка t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу K - количество дней в календарном году(365 или 366) P - сумма привлеченных в депозит денежных средств Sp - сумма процентов (доходов) Видоизмененная формула простых процентов S = P + [P * I * t : K] : 100, где S - сумма банковского вклада (депозита) с процентами, I - годовая процентная ставка t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу K - количество дней в календарном году(365 или 366) P - сумма привлеченных в депозит денежных средств Пример. Предположим что банком принят депозит в сумме 50 тыс. рублей сроком на 3 месяца по ставке 10,5 процентов «годовых» Sp = * 10,5 * 90 : 365 : 100 = 1294,52 S = * 10,5 * 90 : 365 : 100 = ,52

Формула расчета сложных процентов Sp = P * [(1 + I * t : K :100) n - 1] или Sp = S - P = P * (1 + I * t : K : 100) n - P, где I - годовая процентная ставка t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу K - количество дней в календарном году (365 или 366) P - сумма привлеченных в депозит денежных средств Sp - сумма процентов (доходов). n - число периодов начисления процентов. S - сумма вклада (депозита) с процентами Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). Формула расчета вклада с процентами будет выглядеть так: S = P * (1 + I * t : K : 100) n

Пример Принят депозит в сумме 50 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 10,5 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней. S = * (1 + 10,5 * 30 : 365 :100) 3 =51 305,72 Sp = * [(1 + 10,5 * 30 : 365 : 100) 3 -1] = 1 305,72

Заключение Заключение Так в каких же жизненных ситуациях нам встречаются процентные вычисления? В магазине, на рынке, при оплате услуг, при подсчете изменения тарифных цен, в работе избирательной комиссии во время голосования, в банковских операциях. Мы узнали историю возникновения процентов и научились решать разного рода задачи на «проценты». Показали, что эта тема очень важна нам в повседневной жизни, для продолжения обучения. Думаем, что проценты еще не раз встретятся на нашем пути, еще не раз заставят нас «поломать» голову, удивят красивыми решениями, помогут в изучении химии, физики.