Векторы в пространстве

Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. Направление вектора на рисунках отмечается стрелкой. А В С D

Нулевой вектор Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают и он не имеет какого – либо определённого направления. Т ТТ – нулевой вектор

Длина вектора Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора обозначается так:. Длина нулевого вектора считается равной нулю. А В А В

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарныйееми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Сонаправленные векторы Если два ненулевых вектора АВ и CD коллинеарныйее и если при этом лучи АВ и CD сонаправлены, то векторы АВ и CD называются сонаправлеными. АВ СD АВCD

Противоположно направленные векторы Если два ненулевых вектора АВ и CD коллинеарныйее и если при этом лучи АВ и CD не являются сонаправлеными, то векторы АВ и CD называются противоположно направленными. АВ СD АВСDСD

Сонаправленность нулевого вектора Нулевой вектор условимся считать сонаправлены м с любым вектором. Т

Векторы в параллелепипеде Векторы AD и AM не являются ни сонаправлеными, ни противоположно направленными, так как они не коллинеарныйее. С АВ D М Е NК АМKD ADЕК F EFDC

Равные векторы Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Равенство векторов Если точка А - начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. А а МN

Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный b. Вектор АС называется суммой векторов а и b. а b А В С АС = АВ + ВС

Правило параллелограмма Чтобы сложить неколлинеарныйеее векторы а и b, нужно отложить от какой- нибудь точки А векторы АВ=а и АD=b и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор АС равен a + b. а b А В D С

Вычитание векторов Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. b а О А В а - b а b

Вычитание векторов Теорема: Для любых векторов а и b справедливо равенство а – b = а + (-b). а b О АВ а - b а -b-b

Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|*|a|, причём векторы а и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. а k=3 3 а b k = -2 -2b

Компланарные векторы Векторы называются компланарныййййми, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Векторы называются компланарныййййми, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости

Компланарные векторы Любые два вектора компланарныйййй. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарныйеех, также компланарныйййй. Три произвольных вектора могут быть как компланарныййййми, так и не компланарныййййми. Е О В А В1В1 С D А1А1 ВВ 1, ОD и ОЕ – компланарныйййй ОА, ОВ, ОС – не компланарныйййй

Признак компланарности трёх векторов Если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде: с = xa + yb, Где x и y – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарныйййй. О С А1А1 В1В1 А В а b с

Обратное утверждение Если векторы а, b и с компланарныйййй, а векторы а и b не коллинеарныйее, то вектор с можно разложить по векторам а и b, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Правило параллелепипеда Пусть а, b и с – некомпланарныййййе векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его рёбрами. Тогда диагональ ОD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с: ОD = а + b + с. Е О В А В1В1 С D А1А1

Разложение вектора по двум некомпланарныййййм векторам Если вектор р представлен в виде: р = xa + yb + zc, где x, y и z – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа x, y и z называются коэффициентами разложения.

Теорема Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарныййййм векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.