Теорема : Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони і висоти,яка відповідає цій стороні Дано :ABCD-пар-м; BM,CN-висоти Довести : Sпар-ма= = BM*BC Доведення Площа паралелограма дорівнює сумі площ трикутника ABM і трапеції MBCD. Площа прямокутника дорівнює сумі площ трапеції BMDC і трикутника DCN.Проте трикутник ABM =трикутнику DCN за гіпотенузою і гострим кутом (відрізки AB і CD рівні як протилежні сторони паралелограма, кути BAM і CDN рівні як відповідні при паралельних прямих AB і DC та січній AD). Отже, ці трикутники рівновеликі. Звідси випливає,що пар-м ABCD і прямокутник MBCN рівновеликі. За теоремою про площу прямокутника слідує, що площа прямокутника MBCN дорівнює добутку BM*BC.Тоді S=BM*BC, де S-площа паралелограма ABCD,що й треба було довести. А D N B C M

Теорема:Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони і проведеної до неї висоти M B AC N Дано: ABC-трикутник; BM – висота Довести: Sтр-ка =1/2 AC*BM Доведення Через вершини B і C трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам AC і AB відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці N. Очевидно,що чотирикутник ABNC- паралелограм. Трикутники ABC і NCB рівні (за стороною та двома прилеглими кутами, а саме: BC- спільна; кути BCA =NBC (BN//AC і січна BC); кути BAC=BCA (AB//NC і січна BC). Отже, їх площі також рівні. Тоді площа ABC дорівнює площі паралелограма ABNC. Висота BM трикутника ABC є також висотою паралелограма ABNC. Звідси S=1/2 AC*BC, що і треба було довести.

Теорема :Площа прямокутного трикутника дорівнює пів добутку його катетів C A B Дано : трикутникABC; кут C = Довести : S ABC =AC*BC/2 Доведення Так як у прямокутному трикутнику висота - один із катетів (в нашому випадку AC), то S трикутника ABC = 1/2 AC*BC = AC*BC/2, що в треба було довести.

Задачі 1) Знайти площу паралелограма, сторона якого дорівнює 15 см, а висота проведена до цієї сторони дорівнює 7 см. B C AD Дано: ABCD - паралелограм; AD = 15 см; BH = 7 см Знайти: S ABCD. Розвязання: H 1)Розвяжемо задачу за формулою площі паралелограма: S ABCD = BH*AD, підставимо у формулу числа: S ABCD = 7*15 = 105 (cм2) Відповідь: 105 см 2.

2) Знайдіть висоту (опущену на гіпотенузу) трикутника, якщо площа трикутника - 33 см 2. Основа - 11см. A B CH Дано: трикутник ABC; BH - висота; S ABC = 33см 2 ; AB =11см. Знайти: BH Розвязання 1) Виведемо формулу довжини висоти, яка опущена на основу, через площу трикутника: S АВС = 1/2 BH*AC, тоді BH = 2S АВС /AC Підставимо числа: BH = 2*33/11 = 6 (см) Відповідь:6 см.

3) Дано паралелограм ABCD. Проведена діагональ AC. Утворилися трикутники:ABC і ADC. З вершин кутів B і D проведені перпендикуляри BH і DO на діагональ AC. Знайдіть площу паралелограма, якщо AC = 5 см, BH = 1см. Дано: ABCD - паралелограм; AC - діагональ; BH, DO - висоти; AC = 5см; BH = 1см Знайти: S ABCD. A B D C H O Розвязння 1) S ABCD = S ABC + S ACD 2) S ABC =1/2 BH*AC = 1/2*1*5 = 2.5(см 2 ) 3) Трикутник ABC дорівнює трикутнику CDА за стороною і двома прилеглими до неї кутами, а саме: AC - спільна кути BAC = DCА (AB||CD, AC- січна) кути BCA = DAC (BC||AD, AC- січна) З рівності цих трикутників слідує, що S АВС =S ADC 4) Отримали: S ABC = 2,5см 2, S ABC = S ADC Отже, S ABCD = 2*S ABC =5 (см 2 ) Відповідь: 5 см 2.

4) Дано паралелограм ABCD. Проведена діагональ AD. Утворилися трикутники: ABC і ADC. З кутів B і D проведені висоти BH і DO на діагональ. Знайти площу трикутника ADC, якщо площа паралелограма дорівнює 60см 2. Дано: ABCD - паралелограм; S ABCD = 60 см 2 ; AC - діагональ; BH, DO – перпендикуляри на АС. Знайти:S АВС. A B C D HO Розвязання 1) S ABCD = S ABC + S ADC, але трикутник ABC дорівнює трикутнику ADC за стороною та двома прилеглими до неї кутами, а саме: AC - спільна кути BCA = DAC (BC||AD і січна AC) кути BAC = DCA (AB||CD і січна AC) Отже, S ABCD = 2*S ADC, тоді S ADC = S ABCD /2, підставимо числа: S ADC = 60/2 = 30 (см 2 ) Відповідь:30 см 2.

5) У паралелограмі проведена висота. Відомо, що вона дорівнює 6см. Бічна сторона паралелограма дорівнює 10 см, а відношення бічної сторони паралелограма до основи – 2:3. Знайти площу паралелограма. Дано: ABCD-паралелограм; BH-висота; BH=6см; AB=10см; AB:AD=2:3 Знайти: S ABCD. A BC D H Розвязання 1) AB:AD = 2:3, AB = 10см, тоді AD = 15 (см) 2) S ABCD = 1/2 BH*AD Підставимо числа: S ABCD = 1/2*6*15 = 45 (см2) Відповідь:45 см2

6) В прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10см, а більший катет – 8см. Знайти площу трикутника. Дано: трикутник ABC; кут C = 90 0 ; AB=10см; BC=8см. Знайти: S трикутника ABC Розвязання C A B 1) Для трикутника ABC за теоремою Піфагора: AC 2 = AB 2 – BC 2 Підставимо числа: 2). Підставимо числа: Відповідь: 24 см 2.