Электротехника и электроника Линейные цепи постоянного тока.

Расчетом электрических цепей (при известной топологии цепи и параметров ее элементов (ЭДС и сопротивления)) называется нахождение токов I и напряжений U во всех ветвях, а также мощности на участках цепи. Для расчета простых (с одним источником) схем обычно пользуются методом преобразования. Суть метода состоит в замене групп последовательно и параллельно соединенных одинаковых элементов (например R) эквивалентным элементом (R ОБ ).

Последовательным соединением элементов называется неразветвленное соединение, когда конец одного элемента соединяется с началом другого Параллельным соединением элементов называется соединение, когда начала всех элементов соединяются в одном узле, а концы элементов в другом узле

При последовательном соединении сопротивлений, их общее сопротивление равно: При последовательном соединении ток I, проходящий через каждый элемент одинаков. Напряжение U на каждом сопротивлении находится по закону Ома. При параллельном соединении сопротивлений, их общее сопротивление равно:

Частным случаем этой формулы является соединение двух сопротивлений параллельно: Также частным случаем является соединение нескольких n одинаковых сопротивлений параллельно: При параллельном соединении напряжение на каждом элементе одинаково. Токи находятся по первому закону Кирхгофа или закону Ома.

Иногда в схемах приходится преобразовывать соединение элементов в виде треугольника в соединение в виде трехлучевой звезды и обратно. Для этого применяют формулы перехода между этими соединениями. При этом токи входящие или выходящие из узлов остаются прежними (I 1, I 2, I 3 ), как и напряжения между узлами (U 12, U 23, U 31 ).

При переходе из схемы соединения треугольник в схему звезда, сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивления сторон треугольника, прилегающих к лучу, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.

При переходе из схемы соединения звезда в схему треугольник, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений двух лучей звезды, опирающихся на это сопротивление, плюс произведение сопротивлений указанных лучей, деленное на сопротивление третьего луча.

1) Определяем сопротивление параллельно соединенных элементов R3-5 и R2-4: Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В. Ом,

2) Определяем сопротивление последовательно соединенных элементов R1,2-4 и R6,3-5: Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

3) Определяем токи в ветвях acb и adb: А, Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

4) Ток I входящий в узел a : А, 5) Определяем напряжения на сопротивлениях : В. Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

5) Определяем напряжения на сопротивлениях : В. Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

6) Определяем токи проходящие через сопротивления : А, Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

6) Определяем токи проходящие через сопротивления : А, Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

6) Определяем токи проходящие через сопротивления : А, Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

7) Правильность полученных значений для токов проверим, составив уравнение баланса мощностей Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

7) Правильность полученных значений для токов проверим, составив уравнение баланса мощностей Вт Баланс мощностей имеет место Задача 3.1. Шесть сопротивление соединены согласно рисунку. Определить токи и напряжения на элементах цепи, если R1=24 Ом, R2=6 Ом, R3=R4=12 Ом, R5=60 Ом, R6=4 Ом,Uab=14 В.

Основными методами являются: - метод с применением законов Кирхгофа, - метод контурных токов, - метод узловых потенциалов, - метод эквивалентного генератора. Любую ветвь электрической цепи постоянного тока, из скольких бы элементов она ни состояла, можно привести путем преобразования к двум элементам: активному и пассивному (Е и R). Эта задача может быть решена с помощью уравнений электрического состояния. Для расчета сложных (с несколькими ветвями и источниками) схем обычно пользуются разными методы в зависимости от структуры схемы и поставленной задачи.

При составлении уравнений электрического состояния рекомендуется придерживаться следующей последовательности: - задаться произвольно-положительными направлениями токов во всех ветвях; - составить уравнения для узлов; - составить уравнения для контуров. Если цепь содержит в ветвей, то необходимо определить в токов. Общее число уравнений должно быть равно количеству неизвестных, т.е. количеству в токов ветвей. Эти уравнения должны быть независимы, т.е. ни одно из них не должно быть следствием других. Метод с применением законов Кирхгофа Метод заключается в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законом Кирхгофа и решение этой системы относительно неизвестных токов.

Количество уравнений для контуров по второму закону Кирхгофа – k определяется из выражения k = в – (y – 1) где в и у - количество ветвей и узлов в рассматриваемой цепи. Так, число уравнений, составленных для узлов, должны быть на единицу меньше общего числа узлов (у -1). Действительно, каждая ветвь связывает два узла и поэтому значение тока в одно уравнение войдет со знаком «плюс», а в другое - со знаком «минус». Следовательно, одно узловое уравнение окажется лишним.

Для двухконтурной схемы можно составить три уравнения. Одно по первому закону и два по второму. При выборе контуров для составлений уравнений следует исходить из того же принципа независимости уравнений. Контуры необходимо выбирать так, чтобы в систему составляемых уравнений вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров - наименьшее число ветвей.

1) Заменим последовательно соединенные резисторы R1 и R4 эквивалентным R14, R3 и R5 - R35: Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. Ом,

2) Выберем произвольное направление токов и направления обхода 1 и 2 контуров. Схема содержит b=3 ветви и y=2 узла. По первому закону составим одно (y – 1= 2 – 1=1) уравнение и по второму два (k = b – (y – 1)= 3– 2+1=2) уравнения: Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей.

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. для узла b(1) (2) (3)

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. 3) Решаем систему методом исключения. Выразим I3 из (1) и подставим в (3):

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. 4) Решаем систему из двух уравнений:

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. 5) Определяем ток I1 и I4: А, 6) Определяем ток I2 : А,

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. 7) Определяем ток I3 и I5: А, Ток I 3 и I 5 получились отрицательными. Значит выбранное направление тока противоположно действительному А,

Задача 3.2. Определить токи во всех ветвях схемы Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Составить баланс мощностей. 8) Правильность полученных значений для токов проверим, составив уравнение баланса мощностей: Вт Мощности примерно одинаковы, баланс мощностей имеет место.

Решение системы уравнений электрического состояния узлов и контуров, если количество ветвей в электрической цепи более трех, создает трудности в расчетах. Упростить расчет сложных электрических цепей возможно с помощью вспомогательных неизвестных. Метод вспомогательных неизвестных - контурных токов или узловых потенциалов, заключается во введении этих неизвестных в расчеты, число которых существенно меньше числа ветвей в цепи.

Метод контурных токов Метод сводится к составлению и решению систем уравнений, получаемых только по второму закону Кирхгофа. В данном случае применяются понятия контурный ток, сопротивление и ЭДС. Контурными токами называются промежуточные переменные, замыкающиеся в каждом контуре ( I1k, I2k ). В этом случае число уравнений уменьшается до числа независимых контуров k = в - (у - 1). При расчете электрических цепей методом контурных токов, следует руководствоваться следующими правилами: 1. Число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, должны быть по возможности минимальным, т.е. следует выбирать только простые контуры. 2. Положительные направления контурных токов нужно выбирать в одну сторону, лучше (удобнее) по часовой стрелке.

В общем виде систему уравнений, которую приходится решать по методу контурных токов можно записать в следующей форме: Где I Nk – контурный ток N контура, R NNk – сумма сопротивлений в контуре, R MNk – сумма сопротивлений между контурами, E Nk – сумма ЭДС в N контуре.

1) Заменим последовательно соединенные резисторы R1 и R4 эквивалентным R14, R3 и R5 - R35: Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. Ом,

2) Выберем произвольное направление токов и направление обхода контуров. В качестве контурных токов можно принять токи I1k = I1 и I2k = I3 Схема содержит b=3 ветви и y=2 узла. Составим контурные уравнения (k = b – (y – 1)= 3– 2+1=2): Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В.

2) Выберем произвольное направление токов и направление обхода контуров. В качестве контурных токов можно принять токи I1k = I1 и I2k = I3 Схема содержит b=3 ветви и y=2 узла. Составим контурные уравнения (k = b – (y – 1)= 3– 2+1=2): Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В.

3) Решаем систему уравнений: Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. А, 4) Контурный ток I 2k равен: А,

5) Полученные значения для контурных токов позволяют рассчитать истинные токи, протекающие через резистивные элементы схемы: Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. А, т.к. через резистор R1 протекает только один контурный ток т.к. контурные токи I 1k и I 2k протекают через резистор R2 в противоположных направлениях и направление тока I2 на схеме совпадает с направлением тока I 1k (еcли бы направление тока I2 совпадало с направлением тока I 2k тогда I2 было бы равно I 2k - I 1k ) А,

5) Полученные значения для контурных токов позволяют рассчитать истинные токи, протекающие через резистивные элементы схемы: Задача 3.3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. А, При сравнении результатов расчетов с методом на основе применения законов Кирхгофа значения рассчитанных токов совпадают.

Сущность этого метода сводится к решению системы уравнений составленных только по первому закону Кирхгофа. Из этих уравнений определяют напряжения в узлах схемы электрической цепи относительно базисного узла, потенциал которого изначально принимают равным нулю, а токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома. Метод узловых потенциалов Если разветвленная цепь имеет только два узла или путем несложных преобразований может быть приведена к двум узлам, то анализ таких цепей ведут методом двух узлов, который называют методом узловых потенциалов (узлового напряжения).

В общем виде систему уравнений, которую приходится решать по методу узловых потенциалов можно записать в следующей форме: где I NN – узловой ток узла N, g NN – сумма всех проводимостей, сходящихся в узле N, g MN – сумма всех проводимостей, между узлами M и N, φ N – потенциал узла N.

1)Принимаем потенциал точки b равный 0 Задача 3.4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 2) Заменим последовательно соединенные резисторы R1 и R4 эквивалентным R14, R3 и R5 - R35: Ом,

3) Выберем произвольное направление токов. Схема содержит b=3 ветви и y=2 узла. Запишем первый закон Кирхгофа для узла a. Задача 3.4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 4) Запишем напряжение Uab для каждой ветви по закону Ома: для ветви 1(2) для ветви 2(3) (1)

4) Запишем напряжение Uab для 3 ветви: Задача 3.4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 6) Из (2), (3), (4) определим токи в ветвях: для ветви 3(4) 5) Так как

7) Подставим токи в (1) : Задача 3.4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. В, Откуда

Задача 3.4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 6) По закону Ома токи в ветвях равны: А А При сравнении результатов расчетов с методом на основе применения законов Кирхгофа и методом контурных токов значения рассчитанных токов совпадают А

Метод эквивалентного генератора Сущность метода заключается в том, что всю цепь (электрическую схему), за исключением сопротивления исследуемой ветви, заменяют одним источником - эквивалентным генератором с ЭДС Еэ = Uxx (Uxx - напряжение холостого хода исследуемой ветви) и эквивалентным сопротивлением Rэ =Rвх (Rвх – входное сопротивление двухполюсника). Определение напряжения холостого хода. Для этого разрывается ветвь, в которой нужно определить ток и определяется напряжение между точками разрыва ab, которое и является напряжением холостого хода Uab

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 1) Заменим последовательно соединенные резисторы R1 и R4 эквивалентным R14, R3 и R5 - R35: Ом,

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 2) Разрываем ветвь с током I3 и составляется по второму закону Кирхгофа уравнение для контура, включающего узлы ab

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 3) Из уравнения определяем ток холостого хода А,

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 4) Определяем напряжение холостого хода. В,

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 5) Определяется входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам ab, принимая ЭДС источников равными нулю (т.е. закорачиваются все ЭДС). Ом,

Задача 3.5. Определить ток I 3 методом эквивалентного генератора. Исходные данные: R1=40 Ом, R2=30 Ом, R3=20 Ом, R4=50 Ом, R5=10 Ом, E1=50 В, E2=30 В. 6) Определяем ток в ветви А

Потенциальная диаграмма. Потенциальная диаграммой называется график распределения потенциалов вдоль контура электрической цепи. Потенциальную диаграмму строят следующим образом: по оси абсцисс откладывают в выбранном масштабе все сопротивления контура встречающиеся при его последовательном обходе, по оси ординат откладывают потенциалы соответствующих точек.

Потенциал узла b принимаем равным 0. Рассчитываем потенциалы точек d-e-a-c В,

Потенциал узла b принимаем равным 0. Рассчитываем потенциалы точек d-e-a-c В,

Рассчитаем изменения сопротивления вдоль контура Ом,

Рассчитаем изменения сопротивления вдоль контура Ом,

Построим потенциальную диаграмму

Таким образом, рассмотренные методы расчета простых и сложных электрических цепей позволяют определять токи в ветвях и напряжения на элементах электрической цепи при известных значениях параметров ее элементов. Задание 1. Часть А. Для заданной цепи определить: 1) методом эквивалентных преобразований рассчитать эквивалентное сопротивление цепи. 2) рассчитать токи всех элементов заданной цепи. 3) составить баланс мощностей. Часть Б Для заданной цепи: 1) методом с применением законов Кирхгофа и Ома рассчитать токи в цепи, указать на схеме реальные направления токов. 2) методом контурных токов рассчитать токи во всей цепи. составить баланс мощностей. 3) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи.

Номер варианта U, В R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом R6, Ом R7, Ом R8, Ом R9, Ом

Номер варианта Е1, В Е2, В R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом R6, Ом R7, Ом R8, Ом R9, Ом , ,49,22, ,