Системы счисления Информатика и ИКТ 8 класс Гимназия 1 г. Новокуйбышевска Учитель информатики: Красакова О.Н.

История возникновения счета Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

Система счисления Система счисления – это способ представления чисел с помощью специальных знаков – цифр по определенным правилам. Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами. Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9} Числа: CXL Числа: CXL Цифры: 0, 1, 2, 3,… 0,1 I, V, X, L, … Цифры: 0, 1, 2, 3,… 0,1 I, V, X, L, …

Типы систем счисления Непозиционные Позиционные значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

Позиционные системы счисления Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит. 5 десятков 555 Десятичная система 5 сотен 5 единиц

Позиционные системы счисления Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел N=2 Основание 0, 1 Алфавит Пример N=4 0, 1, 2, Двоичная система счисления Четверичная система счисления

Позиционные системы счисления Основание Алфавит Пример N=8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, N= , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F 2F5 16 Восьмеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления

Решение задач В каких системах счисления записаны числа? , , 207 8, 5С D8 12 Найти ошибки в записи чисел в различных С.С.

Решение задач Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа 312 ? 1012 ? 6720 ? 790 ? 1000 ? 3440 ? 2F1 ? А19 ?

Соответствие между числами в различных системах счисления 10-ая 2-ая 8-ая 16-ая А В С D E F

Соответствие систем счисления Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатерич ная 89ABCDEF10

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС Правила перевода Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток. Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС Х Ответ: = Записываем выделенные остатки в обратном порядке

Перевод чисел из 10-й СС в 8-ю СС Х Ответ: = Записываем выделенные остатки в обратном порядке

Перевод чисел из 10-й СС в 16-ю СС Х Ответ: = 14F 16 Записываем выделенные остатки в обратном порядке F Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15

Решение задач В двоичную систему: = В четверичную систему: =

Решение задач Восьмеричная система: = = = 427 8

Решение задач Шестнадцатиричная система: = = = 2D1 16 6В 16 FA 16

Перевод в десятичную СС Формы записи числа Развернутая Свернутая =2*100+7*10+5*1 = =2* * * Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Решение задач Запишите числа в развернутой форме: , , 207 8, 5С 16 Запишите числа в свернутой форме: 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 7* * *10 0 = 3*8 1 +3*8 0 = 14* *16 0 =

Перевод из 2-ой в 10-ую СС =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = Основание системы Разряд цифры =8+4+1 = 13 Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение.

Решение задач = 1· · · · ·2 0 = = = 1* * * * *2 2 = = =

Перевод из 8-ой в 10-ую СС = 7*8 1 +1*8 0 = 56+1= = 1· · ·8 0 = = =

Перевод из 16-ой в 10-ую СС 7А = 7· ·16 0 = = = С = 2· · ·16 0 = = = C = 1· · ·16 0 = = 453 C C 1D4 16 = 1* * *16 0 = = =

Задание. Перевести в 10-ю СС = = 75 8 = = = = = 1BC 16 = 22B 16 = A35 16 = 2FE1 16 =

Домашнее задание Переведите числа из одной системы счисления в другую. a) 71 8 Х 10 Х 2 ; b) 5Е 16 Х 10 Х 8 ; c) Х 10 Х 16 ; d) AF 16 Х 10 Х 2

Домашнее задание 1. Для каждого из чисел: , выполнить перевод: 10 2, 10 8, Для каждого из чисел: , , выполнить перевод: 2 10, 2 8, Для чисел: , , 777 8, 1AB 16, A1B 16, E2E4 16, E7E5 16 выполнить соответствующий перевод: 8 2, 16 2.

Перевод дробных чисел в десятичную с.с. 1001, = 1· · · ·2 -2 = = ,5 + 0,25 = 9, , = 1· · · ·2 -3 = = ,25 + 0,125 = 5,375 10

Перевод дробных чисел в десятичную с.с. 1003,201 4 = 1* * * *4 -3 = 132,02 4 = 1*4 2 +3*4 1 +2*4 0 +1*4 -2 = = ,125= =30, = ,5 + 0,015625= =67,

Перевод дробных чисел в десятичную с.с. 207,24 8 = 2*8 2 +7*8 0 +2* *8 -2 = = /8 + 4/64= = ,25 + 0,0625 = = 135,

Перевод дробных чисел в десятичную с.с. 1D,С 16 = 1* * *16 -1 = = /16 = =29 + 0,75 = =29,75 10

Перевод дробных чисел ,25 10 =, ,01 2 0,25 2 2,0 105,25 10 = ,25 = , = Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0.

Перевод дробных чисел ,375 =, , , ,5,0 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

Перевод дробных чисел , =? 4 180, х , , ,5,0 180, ,222 4

Арифметические операции 35 сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем –

Арифметические операции

Арифметические действия – – – – – –

Арифметические действия сложение = 8 = = 12 = = 8 = в перенос в перенос

Арифметические действия

Арифметические действия

Арифметические действия вычитание – – (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем

Арифметические действия – – – –

Арифметические действия сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 A 5 B 16 + C 7 E D =25= =13=D =22= в перенос 13961

Арифметические действия С В А 16 + A С В А 16 + A В А В А

Арифметические действия вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 С 5 B 16 – A 7 E 16 заем 1 D D – – (11+16) – 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 131

Арифметические действия 10 В А 16 – A В А 16 – A

Арифметические действия умножение *

Арифметические действия умножение

Арифметические действия умножение А А А Е 6 16 В

50 Арифметические операции умножение

Домашнее задание Вычислить выражение АВ 16