Немає жодної галузі людського знання, куди не входили б поняття про функції та їх графічне зображення. К.Лебединцев

Поняття «функції» виникло в математиці порівняно недавно. Для того,щоб прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі, викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і народи. Але в першу чергу варто назвати імена : П. Ферма ( ) Р. Декарта ( ) И. Ньютона ( ) Г. В. Лейбніца ( )

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30- х роках ХVII ст., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується активним залученням алгебри до розвязування геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур їхніми рівняннями дозволяє звести багато задач геометрії до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою. Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежність координат точки, що рухається, від часу, фактично вже займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би, звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу). Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.).

Сучасне означення числової функції, у якому це поняття вже звільнялося від способу завдання, було дано незалежно один від одного російським математиком Н. И. Лобачевским (1834 р.) і німецьким математиком Л. Діріхле (1837 р.).

Функцією називають залежність або відповідність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х із деякої множини відповідає значення змінної у із другої множини і лише одне. Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у – залежною змінною, або функцією. Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна х. Область визначення позначають великою латинською літерою D. Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна у, якщо х належить області визначення. Область значень позначають великою латинською літерою Е. Функцію можна задавати: аналітично ( функція задається формулами); табличним способом ( у таблиці надаються значення змінної х і відповідні їм значення у) ; описовим способом (функція задається словесним описом) ; графічно ( функція задається її графіком).

Наприклад: Функція y=a x, де a>0 і a1 називається показниковою (з основою a).

Які з наведених функцій є показниковими :

x y=2 x 1248 Властивості: 1) D(y)=R ; 2) E(y)=(0;); 3) Функція зростає при xєR ; 4) Графік функції перетинає Oy в точці (0;1).

x Графік показникової функції Властивості: 1) D(y)=R; 2) E(y)=(0;) ; 3) Функція спадає при xєR ; 4) Графік ф-ції перетинає Oy в точці (0;1).

Графік показникової функції називається експонентою.

Окремий випадок Якщо a=1, то функція постійна.

1) 2) 3)4)

(із збільшенням показника степінь збільшується, тому a > 1). Порівняти x і y, якщо: (т.я. 0,3<1, то x<y); (т.я. 5>1, то x<y); (x>y). Порівняти a з одиницею (a>0), якщо: а) a 7 >a 10 (функція y=a t із зростанням аргументу спадає, тому a < 1); б) a -5 <a -3

Зобразіть схематично графік функції y = - (a) x (a>0, a1) Для побудови графіка даного графіку необхідно виконати симетричні перетворення функції y=a x відносно осі Ox.

Зобразіть схематично графік ф ункці ї y = a - x (a>0, a1) Для побудови графіка даного графіку необхідно виконати симетричні перетворення функції y=a x відносно осі Oy.

Зобразіть схематично графік функції y=a x ± n (a>0, a1) Для побудови графіка функції y = a x ± n необхідно виконати паралельне перенесення функції y=a x вздовж осі Oy на n одиниць вгору (вниз)

Паралельне перенесення Зобразіть схематично графік функції y=a x ± m (a>0, a1) Для побудови графіка функції y = a x ± m необхідно виконати паралельне перенесення функції y=a x вздовж осі Ox на m одиниць вліво (вправо). -2 3

y x -3 Зобразіть схематично графік функції

Серед наведених функцій показниковою є:

Серед наведених функцій вибрати ті, що спадають.

Серед наведених функцій вибрати ті, що зростають.

Г Графік функції y=2 x – 1 зображено на рисунку: А Б В

Областю значень функції y = 2 x + 5 є проміжок:

Г Серед наведених графіків зазначте графік функції y = 3 |x| А Б В