Решение неравенств методом интервалов. Алгебра и начала анализа, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

0 x y Пусть графиком функции y =f( x ) является некоторая гладкая кривая: y=f(x) Очевидно, что D(f)=E(f)=. Обратим свое внимание на значения аргумента x 1, x 2, x 3, x 4 – в этих точках график функции пересекает ось Ох или касается её. Это – так называемые нули функции (ординаты этих точек равны 0, т.е. f( x 1 )= f( x 2 )= f( x 3 )= =f( x 4 ) =0). Аналитически их можно найти, решая уравнение f( x )=0. х 4 х 4 х 3 х 3 х 2 х 2 х 1 х 1

0 x y y=f(x) Точки x 1, x 2, x 3, x 4 разбивают область определения функции D(f) на промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция имеет либо положительные значения (f(x)>0), либо отрицательные (f(x)<0). В нашем случае: f(x)>0, при х (– ; х 1 ) (х 2 ; х 3 ) (х 3 ; х 4 ) и х 2 х 2 х 1 х 1 х 3 х 3 х 4 х 4 f(x)<0, при х (х 1 ; х 2 ) (х 4 ; + ).

Опираясь на эту геометрическую иллюстрацию, мы можем вывести алгоритм решения неравенств, получивший название «метод интервалов». Методом интервалов можно решить любое неравенство вида: f(x) 0. При решении придерживаются следующей схемы (перепишите её в тетрадь!): 1)Найти D(f); 2)Найти нули функции, решая уравнение f(x)=0; 3)Отметить на D(f) все полученные нули; 4)Определить знак функции на каждом полученном промежутке; 5)Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком. Проиллюстрируем данную схему на нескольких примерах. Пример 1. Решите неравенство. Решение. Под функцией f(x) следует понимать выражение в левой части неравенства. Это дробно-рациональная функция. 1) D(f)=, кроме х= – 4; 2 (данные значения обращают знаменатель в нуль).

2) Найдем нули функции. Значение дроби равно нулю, если числитель этой дроби равен нулю, т.е. х= –1; 3; 7 – нули функции. 3) Обратите внимание, что точки разрыва функции (–4 и 2) всегда на числовой прямой будут пустыми (или «выколотыми»), а нули функции – в зависимости от знака неравенства (если знак неравенства строгий, то точки пустые, если нестрогий, то обычные). –42 х –137 4) Для расстановки знаков на полученных промежутках можно поступить так: разложить левую часть неравенства на линейные множители (как в нашем случае); тогда на крайнем справа промежутке знак определяется комбинацией угловых коэффициентов этих линейных множителей (в нашем случае все коэффициенты равны 1, т.е. получается комбинация ); + на остальных промежутках (двигаемся от крайнего справа промежутка влево) знаки расставляются по правилу: знак по сравнению с предыдущим меняется, если показатель степени линейного множителя нечетный и не изменяется, если показатель степени линейного множителя четный. В нашем случае получается… (см.рис.). (х–3) (х–7) (х+1) (х–2) (х+4) 23 4 – – +––

Вышеизложенный метод определения знаков на интервалах по сути опирается на понятие «кратных» корней. Если Вам этот термин не знаком, то можно воспользоваться другим способом: –42 х –137 +– – +–– выбирая из каждого промежутка любое значение, подставляют в формулу, задающую данную функцию и определяют по полученной комбинации знак функции на каждом промежутке: а) –5 (– ; –4) f(–5)= ;б) –2 (–4; –1) f(–2)= ; в) 0 (–1; 2) f(0)= ;г) 2,5 (2; 3) f(2,5)= ; д) 4 (3; 7) f(4)= ; е) 8 (7; + ) f(8)= ; Как Вы можете убедиться – результат расстановки знаков такой же, как в предыдущем способе.

5) Остается записать ответ, выбрав промежутки соответствующие знаку неравенства. В нашем случае, знаку « » соответствуют промежутки со знаком «+». Важно не забыть х=3!!! –42 х –137 +– – +–– Ответ: х [–1; 2) {3} [7; + ). Пример 2. Решите неравенство. Решение. Перенесем все в левую часть неравенства:. 1) D(f)=, кроме х= – 1; 1, где f(x)= ; 2) Нулей функции нет, т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицательный; 3) х – 11 4) Проверьте себя, как Вы поняли правило расстановки знаков… + ––

5) Ответ: х (–1; 1). Пример 3. Решите неравенство sin x +cos( 2x )>1. Решение. Перепишем неравенство в виде: sin x >1 – cos( 2x ). Используя формулы половинного аргумента, получим: sin x >2sin 2 x или 2sin 2 x – sin x <0. 1) D(f)=, где f(x)=2sin 2 x – sin x ; 2) 2sin 2 x – sin x =0; 3) Расставим полученные нули функции на числовой прямой: х 0 Учитывая периодичность функции y=sinx, достаточно ограничиться отрезком длиной 2 ; 4) Расставим знаки на полученных промежутках; + – – + 5) Запишем ответ: