Площі фігур Дидактичний матеріал до уроку геометрії з досвіду роботи вчителя математики Сновянської ЗОШ І – ІІ ст Чернігівського району Чернігівської області Колько Н.М.

Геометрія - це наука про властивості фігур Геометрія – слово грецьке, означає «землемірство»

З давніх часів обчислювання площ було одним з найважливіших застосувань геометрії. У Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу землероби почали обробляти приблизно в пятому тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в обчисленні площ. На підставі документів, що дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни вміли вимірювати площі прямокутника, трикутника і трапеції за відомими тепер правилами. Обчислення площі або поверхні фігури називається « квадратурою», що в перекладі з латинської означає надання квадратної форми. У стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму площу. Звідси зрозуміле походження слова «квадратура».

Поняття площі Числове значення якої має властивос ті Якщо фігура розбивається На частини, що є простими фігурами Площа квадрата Додатна величина Площа Мають рівні площі Дорівнює одиниці То площа фігури = сумі площ її частин проста Рівні фігури можна розбити Скінченну кількість плоских трикутників Геометрична фігура Сторона дорівнює одиниці вимірювання

Плоским трикутником називають скінченну частину площини, обмежену трикутником

Геометричну фігуру називатимемо простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.

Площа – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості: рівні фігури мають рівні площі; якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.

За одиницю вимірювання площ приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

1 мм 2 – площа квадрата зі стороною 1 мм 1 см 2 – площа квадрата зі стороною 1 см 1 дм 2 – площа квадрата зі стороною 1 дм 1 м 2 – площа квадрата зі стороною 1 м 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м, 1 гектар – площа квадрата зі стороною 100м

Квадрат Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони S = d 2 S = a 2 Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі

Прямокутник Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін S = a b Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі, помноженій на синус кута між ними S = d 2 sin φ

Паралелограм S = a h а S = b h в Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї S = a b sin α Площа паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними S = d 1 d 2 sin φ

Чотирикутник Площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними S = d 1 d 2 sin φ Площа чотирикутника, в який можна вписати коло, дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола S = p r Півпериметр р = (a +b + c + d ) Площа чотирикутника, навколо якого можна описати коло, знаходиться за формулою S =

Ромб Площа ромба дорівнює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба S = d 1 d 2 Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей S = a h Площа ромба дорівнює добутку його сторону на висоту S = а 2 sin α від грецького «ромбос» - бубон ( у стародавні часи цей ударний музичний інструмент мав форму ромба).

S = d 1 d 2 sin φ Площа трапеції дорівнює половині добутку її діагоналей на синус кута між ними S = ( a + b)h Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту S = h 2 Площа рівнобічної трапеції, діагоналі якої перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти Трапеція

ТрикутникТрикутник Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони S = a h а S = b h в S = bсsin α Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними Площа трикутника виражається через добуток його сторін та радіус описаного кола Формула Герона

ТрикутникТрикутник Площа рівностороннього трикутника виражається через його сторону Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів S = a b Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола S= pr

Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) – давньогрецький математик – енциклопедист, який працював в Александрії. Праці його мали головним чином прикладний характер. Він був видатним механіком, його навіть називали « Герон – механік». У творах « Пневматика» і «Механіка» описав автомат для відкривання дверей, автомат для продажу «священної води», пожежний насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням геодезії і практичному застосуванню геометрії. У кращій з математичних праць «Метрика», він виклав практичні правила для обчислення площ та обємів геометричних фігур, які застосовували давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і техніки.

Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко запамятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія її творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського (Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда – Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу поему. Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна розвязувати багато цікавих і важливих задач. І все таки користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді доцільна.

Задача Знайти площу трапеції, у якої паралельні сторони 20 см і 60 см, а непаралельні – 13 см і 37 см А В С D КN

І спосіб За формулою Герона S KCD = 240 (см 2 ) S KCD = KD· CN, KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см) За формулою площі трапеції S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см 2 ). Відповідь: S = 480 (см 2 ).

ІІ спосіб З трикутника CKD за теоремою косинусів CD 2 = CK 2 + KD 2 – 2 CK · KD cos < CKD знайдемо cos < CKD = cos α і sin α. тоді CN = CK sin α. CN =12 (см). За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см 2 ). Відповідь: S = 480 (см 2 ).

ІІІ спосіб Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для CKN і CND застосуємо теорему Піфагора і знайдемо CN : CN 2 = 132 – х 2, CN 2 = 372 – (40 -х) 2. З рівняння 132 – х 2 = 372 – (40 -х) 2 х = 5, CN =12 (см). За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см 2 ). Відповідь: S = 480 (см 2 ).

ІУ спосіб Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О. АОD ˜ ВОС (за кутами ). Тоді OD =1,5 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 13 = 19,5 (см). За формулою Герона знайдемо S AOD = 540 (см 2 ). S ABCD = S AOD. S ABCD =480 (см 2 ). Відповідь: S = 480 (см 2 ).

А R G P L B M C N O D F Задача Один веселий кулінар зробив торт у вигляді правильного шестикутника АВСDFG. Після цього він перетворив його у круглий торт, зївши залишки. Поміркувавши, він вирішив, що попередня форма торта була кращою, і, знову зївши залишки, отримав нарешті правильний шестикутник LMNOPR. Яку частину початкового торта зїв кулінар?

Вчитись можна тільки весело. Щоб перетравити знання, треба поглинати їх з апетитом! Анатоль Франс