Презентация на тему: Пирамида ученика 10 класса «Г» Буданова Руслана

Пирамида Многогранник, составленный из n- угольника А 1 А 2 …А n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник А 1 А 2 …А n называется основанием, а треугольники РА 1 А 2, РА 2 А 3,…, РА n А 1 - боковыми гранями пирамиды. Р А1А1 А2А2 А3А3 АnАn α Н Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА 1,РА 2,…, РА n - её боковыми ребрами. Отрезок РН называется высотой пирамиды. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней. S полн =S бок + S осн

Квадратная пирамида Шестиугольная пирамида Правильная пирамида

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Рассмотрим правильную пирамиду РА 1 А 2 …А n. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА 1 – гипотенуза треугольника ОРА 1, в котором ОР=h, ОА 1 =R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно поэтому РА 1 =РА 2 =…=РА n. Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА 1 А 2 …А n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны между собой, так как А 1 А 2 …А n - правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой. А1А1 А2А2 Е Р АnАn R О h

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 0,5d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Теорема доказана. S = 0,5dА 1 А 2 + 0,5dА 2 А 3 +…+ 0,5dА n А 1 = =0,5d(А 1 А 2 + А 2 А 3 +…+ А n А 1 )= 0,5dР осн S=0,5dР осн А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Р Н d α

Усеченная пирамида Проведем плоскость β параллельно основанию пирамиды РА 1 А 2 …А n, пересекающую боковые ребра в точках В 1, В 2, …, В n. Многогранник, гранями которого являются n-угольники А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А 1 А 2 В 2 В 1, А 2 А 3 В 3 В 2, …, А n А 1 В 1 В n (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2, …, А n В n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n обозначают так: А 1 А 2 …А n В 1 В 2 …В n. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды (на рисунке СН является высотой усеченной пирамиды). Р А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Н С В1В1 В2В2 В3В3 ВnВn β α Р

Усеченная пирамида Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. Рассмотрим боковую грань А 1 А 2 В 2 В 1. Стороны А 1 А 2 и В 2 В 1 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РА 1 А 2 пересекается с параллельными плоскостями α и β. Две другие стороны А 1 В 1 и А 2 В 2 этой грани не параллельны – их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань – трапеция. Аналогично доказывается то, что остальные грани – трапеции. Усеченная пирамида называется правильной(на рисунке правильная пятиугольная усеченная пирамида), если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многогранники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей её боковых граней. А1А1 АnАn А3А3 В1В1 В2В2 В3В3 ВnВn А2А2 Р β α

Теорема Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Доказательство Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды S равна сумме площадей боковых граней – трапеций. Площадь каждой трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. Так как пирамида правильная, то все апофемы равны. Выносим за скобки 0,5РН. В скобках получим сумму периметров оснований. Теорема доказана. S = 0,5СН(А 1 А 2 + В 1 В 2 ) + 0,5СН(А 2 А 3 + В 2 В 3 ) +…+ 0,5СН(А 1 А n + В 1 В n )= 0,5СН( А 1 А 2 + А 2 А 3 + … + А 1 А n + В 1 В 2 + В 2 В 3 +…+ В 1 В n ) = 0,5СН(Р А 1 А 2 …А n + Р В 1 В 2 …В n ) А1А1 АnАn А3А3 В1В1 В2В2 В3В3 ВnВn А2А2 Н α β Р С