Ф О Р М У Л Ы Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Н И Й С2 К О О Р Д И Н А Т Н О - В Е К Т О Р Н Ы М С П О С О Б О М г. Новороссийск МОУ СОШ 10 учитель математики Волкова О.А

С О Д Е Р Ж А Н И Е Н У Ж Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы У Г Л Ы в П Р О С Т Р А Н С Т В Е Р А С С Т О Я Н И Е в П Р О С Т Р А Н С Т В Е П Р И М Е Р Ы П Р И М Е Н Е Н И Я Ф О Р М У Л

Н У Ж Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы Векторное произведение 2 векторов Векторное произведение 2 векторов Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки Объем тетраэдра, построенного на 3 векторах Объем тетраэдра, построенного на 3 векторах Уравнение прямой, проходящей через 2 точки Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

В Е К Т О Р Н О Е П Р О И З В Е Д Е Н И Е M 3) A B D =, 2)

У Р А В Н Е Н И Е П Л О С К О С Т И, П Р О Х О Д Я Щ Е Й Ч Е Р Е З 3 Т О Ч К И M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) M 3 (x 3 ; у 3 ; z 3 )

Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах A B V = mod D

О Б Ъ Е М Т Е Т Р А Э Д Р А, П О С Т Р О Е Н Н О Г О на 3 векторах A B V =

У Р А В Н Е Н И Е П Р Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й через 2 точки M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) M(x ; у ; z) M1M1 M2M2 M1M1 M {x – x 1 ; y – y 1 ; z – z 1 } М 1 М 2 {x 2 –x 1 ; y 2 –y 1 ; z 2 –z 1 } = =

У Г Л Ы В П Р О С Т Р А Н С Т В Е Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 α Cos α = N F{ N

У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И α Cos α = M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) a M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) b = = = = b a

У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) b = = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 N α α β = = b N

Р А С С Т О Я Н И Е В П Р О С Т Р А Н С Т В Е Расстояние между 2 точками Расстояние от точки до прямой Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У Д В У М Я Т О Ч К А М И M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 )

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) a M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) = = h 1) ! М 1 М 2 {x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 } d = h = а × М 1 М 2 = 2) 4) 3) 5) d =

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И b = = a M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) = = 1) = 3) 2) = mod

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Л О С К О С Т И A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 N M 2 (x 2 ; у 2 ; z 2 ) d

П Р И М Е Р Ы П Р И М Е Н Е Н И Я Ф О Р М У Л

1. Найти векторное произведение векторов и его модуль и = × = = = = = = =

СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M 1 (2;2;2)M 2 (4;0;3 ) M 3 (0;1;0) 1) 2) 3) 4(x-2) – 2(z-2) -2(y-2) -4(z-2) +1(x-2) +4(y-2) =0 5x + 2y -6z -2 = 0 нормаль

Найти объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если = = 24 V = = =

У Р А В Н Е Н И Е ПР Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й Ч Е Р Е З 2 Т О Ч К И

Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Л О С К О С Т Я М И x - 4y - z + 9 = 0 4x - 5y + 3z - 1 = 0 = 0,7 α = arccos 0,

Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И

2x+y-z +4 = 0 Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю =

Н А Й Т И Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й 2) 3) 4) =

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И A(1;3;-1) O(0;0;0)

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И M(3;1;-1) до П Л О С К О С Т И 22x + 4y -20z-45 =0 d M(3;1;-1) 22x + 4y -20z-45 =0 = 1,

A B C S M X Y Z 1) Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетом АВ =. Найти расстояние от точки В до грани ASC, если вершина пирамиды проектируется в середину ребра АВ и SA = Определим координаты вершин пирамиды. 2) Составим уравнение плоскости ACS 3) Найдем по формуле расстояние d от точки В до плоскости ACS Ответ: d =